滿秩矩陣

滿秩矩陣

設A是n階矩陣, 若r(A) = n, 則稱A為滿秩矩陣。但滿秩不局限於n階矩陣。 若矩陣秩等於行數,稱為行滿秩;若矩陣秩等於列數,稱為列滿秩。既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。行滿秩矩陣就是行向量線性無關,列滿秩矩陣就是列向量線性無關;所以如果是方陣,行滿秩矩陣與列滿秩矩陣是等價的。

基本信息

矩陣的秩

定義1:用初等行變換將矩陣A化為階梯形矩陣, 則矩陣中非零行的個數就定義為這個矩陣的秩, 記為r(A),根據這個定義, 矩陣的秩可以通過初等行變換求得。需要注意的是, 矩陣的階梯形並不是唯一的, 但是階梯形中非零行的個數總是一致的。

滿秩矩陣 滿秩矩陣

定義2:在中,若

滿秩矩陣 滿秩矩陣

(1)有某個r階子式;

滿秩矩陣 滿秩矩陣

(2)所有r+1階子式(如果有r+1階子式的話)

稱A的秩為r,記作R(A)=r。規定:R(O)=0.

滿秩矩陣 滿秩矩陣

對,若R(A)=m,稱A為行滿秩矩陣;

若R(A)=n,稱A為列滿秩矩陣。

滿秩矩陣 滿秩矩陣

對,若R(A)=n,稱A為滿秩矩陣(可逆矩陣,非奇異矩陣);

若R(A)<n,稱A為降秩矩陣(不可逆矩陣,奇異矩陣)。

滿秩矩陣是一個很重要的概念, 它是判斷一個矩陣是否可逆的充分必要條件。

單位陣

單位陣是單位矩陣的簡稱,它指的是對角線上都是1,其餘元素皆為0的矩陣。

在矩陣的乘法中,有一種矩陣起著特殊的作用,如同數的乘法中的1,我們稱這種矩陣為單位矩陣,簡稱單位陣。它是個方陣,除左上角到右下角的對角線(稱為主對角線)上的元素均為1以外全都為0。

可用將係數矩陣轉化成單位矩陣的方法解線性方程組。

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