最簡三角方程:最簡三角方程(simplest trigonometric -百科知識中文網

基本概念

設是x的基本三角函式，我們稱方程

為最簡三角方程，即最簡三角方程是形如，，，，，的幾種三角方程，其中a是已知數。

求解最簡三角方程，就是由函式值a來求出函式相應自變數的一切值。由於基本三角函式S(x)是周期函式，故可先考慮在一個周期內的對應a的一切x值，再加上周期的整數倍，即得滿足的一切x值。

我們先來討論最簡三角方程

顯然，根據正弦函式的值域為，故而，當時，方程(1)無解。

現在討論的情況。我們知道，正弦函式的周期為，故可先在一個周期內求出方程(1)的解。考慮到反正弦函式的值域是，故我們選擇一個周期來討論。

在單位圓中，正弦線等於a的角一般有兩個(當時，看成該兩角相重)：當時，這兩角分別在和中；當時，這兩角分別在和中，見圖1。

我們知道，在中，有一個解，可用反三角函式來表示:因，其中，故

從圖1可以看出，在中，有一個解，可表示成

根據三角函式的周期性，、將和、取得相同的函式值a；而由單位圓知，凡有函式值為a的角x必在或之中。所以，這就求得了最簡三角方程sinx=a的解為

這裡，k為整數。

隨著k取一切整數值，(4)和(5)包含了方程(1)的一切解。在方程(1)的無窮多個解中，可看成是或與關於同餘(即被除得的餘數相同，或說成方程的解與相差的整倍數)，或與關於同餘。我們稱(4)和(5)為方程(1)的通解。

一般說來，一個三角方程雖有無窮多個解，但互不同餘的解之個數是有限的、要求出三角方程的通解，就須求出有限組互不同餘的解。

在通解(4)、(5)中，注意到π前面係數的奇、偶性和式中的+、－號關係，可把(4)、(5) 兩式統一寫成

循著以上同樣的思想方法，可求得各個最簡三角方程的解，最簡三角方程的解集列表如下：