曹健定律

曹健定律，是勤奮的曹健在學習中積累總結的，一個直角三角形中能畫出的最大正方形一定是和兩直角邊重合的那個最大正方形。

曹健（1994.10.21——？）：出生在浙江省溫嶺市，是位小小數學愛好者，熱愛數學比生命還重要。
曹健定律是勤奮的曹健在學習中積累總結的。
曹健定律：一個直角三角形中能畫出的最大正方形一定是和兩直角邊重合的那個最大正方形。
證明：
假設△Rt△Abc中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
我們只要考慮兩種情況：
1、正方形的一邊在AB上，顯然這時當另外兩個頂點分別在AC、BC上正方形面積才能達到最大，這個最大的正方形面積記為S1
（注意：這種情況如果正方形只有一個頂點在一條直角邊上，第四個頂點不在另一條直角邊上，正方形面積不可能達到最大。因為這時可以調整正方形的位置使兩相鄰邊分別在AC、BC上，如果另外一個頂點不在AB上，可保持一邊位置仍然在AB上，而增大邊的長度使另外兩個頂點落在AC、BC上，調整後的面積一定大於調整前的面積）
2、正方形的一邊在AC（或BC）上，顯然這時另外一條相鄰的邊一定在BC（或AC）上，且當另外一個頂點在AB邊上時正方形面積才能達到最大，這個最大的正方形面積記為S2
（注意：這種情況如果正方形只有一邊在直角邊上，另外相鄰一邊不在另一條直角邊上，正方形面積不可能達到最大。因為這時可以調整正方形的位置使兩相鄰邊分別在AC、BC上，如果另外一個頂點不在AB上，可保持兩邊位置仍然在AC、BC上，而增大邊的長度使第四個頂點落在AB上，調整後的面積一定大於調整前的面積）
另外，從下面的作圖方法同樣能知道上面所說的事實。
第一種情況的作圖：在△ABC內任意作一個正方形，使其一邊在AB上，平移這個正方形使一個頂點在AC邊（或AB）上，第四個頂點P在△ABC內部，作射線AP（或BP）交BC（或AC）於點G，過G作GD//AB，GF⊥AB，DE⊥AB，則正方形DEFG就是這種情況下的最大正方形
第二種情況的作圖：在△ABC內任意作一個正方形，使其兩邊在AC、BC上，第四個頂點Q在△ABC內部，作射線CQ交AB於點S，過S作SR⊥AC，ST⊥BC，則正方形CRST就是這種情況下的最大正方形下面我們比較S1與S2的大小，也就是比較正方形DEFG和正方形CRST的邊長的大小。
設正方形DEFG的邊長為X，正方形CRST的邊長為Y
在情形一的圖形中作斜邊上的高CM，交DG於N，容易求出：CM＝ab/c
所以CN＝ab/c－X
不難證明：CN/CM＝DG/AB
所以(ab/c－X)/(ab/c)＝X/c
解得：X＝(abc)/(ab＋c^2)
所以：1/X＝1/c＋c/ab
在情形二的圖形中，顯然有：AR＝b－Y
不難證明：SR/BC＝AR/AC
所以Y/a＝(b－Y)/b
解得：Y＝ab/(a＋b)
所以：1/Y＝1/a＋1/b
所以1/X－1/Y＝(1/c＋c/ab)－(1/a＋1/b)
＝(ab＋c^2－bc－ac)/abc
＝(c－a)(c－b)/abc
因為c＞a，c＞b
所以1/X－1/Y＝(c－a)(c－b)/abc＞0
所以1/X＞1/Y
因為X＞0，Y＞0
所以X＜Y
所以S1＜S2