定義
對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。
（1）對角矩陣形如：
對角矩陣
對角矩陣（2）對角矩陣可以記作：。
對角矩陣
對角矩陣（3）當時，對角陣稱為數量矩陣。
對角矩陣
對角矩陣（4）當時，叫做單位矩陣，記作E，有。
運算規律
和差運算
同階對角陣的和、差仍是對角陣，有：
對角矩陣數乘運算
數與對角陣的乘積仍為對角陣，有：
對角矩陣乘積運算
同階對角矩陣的乘積仍為對角陣，且它們的乘積是可交換的，有：
對角矩陣矩陣條件
充要條件
n階矩陣A相似於對角矩陣的充要條件是A有n個線性無關的特徵向量。
證明過程：
（1）必要性。
設有可逆矩陣P，使得
對角矩陣
對角矩陣令矩陣P的n個列向量為，則有
對角矩陣
對角矩陣 對角矩陣
對角矩陣因而，因為P為可逆矩陣，所以為線性無關的非零向量，它們分別是矩陣A對應於特徵值的特徵向量。
（2）充分性。
對角矩陣 對角矩陣 對角矩陣
對角矩陣
對角矩陣由必要性的證明可見，如果矩陣A有n個線性無關的特徵向量，設它們為，對應的特徵值分別為，則有，以這些向量為列構造矩陣，則P可逆，且，其中C如下：
對角矩陣
對角矩陣即。
推論
若n階矩陣A有n個不同的特徵值，則A必能相似於對角矩陣。
說明：當A的特徵方程有重根時．就不一定有n個線性無關的特徵向量，從而未必能對角化。
