定義
向量空間的基本模型是n維行向量或列向量的空間：
實向量空間
實向量空間
實向量空間：行向量的集合，或列向量的集合。
實向量空間雖然行向量寫起來占的空間較少，但矩陣乘法的定義使得列向量對我們更方便。因而多數情況下使用列向量，為了節省空間，我們有時把列向量寫成的形式。
向量加法：
實向量空間標量乘法:
實向量空間 實向量空間這些運算使成為一個向量空間。
實向量空間
實向量空間
實向量空間一個 實向量空間是具有兩個合成法則的集合（所有及所有）：
實向量空間(a) 向量加法:；
實向量空間(b) 標量乘法：；
並且這兩個合成法則必須滿足下列公理：
實向量空間(i)加法使V成為阿貝爾群；
(ii)標量乘法與實數乘法是結合的：
實向量空間(iii)用實數1作標量乘法是恆等作用：
實向量空間(iv)兩個分配律成立：
實向量空間
實向量空間 實向量空間 實向量空間當然，所有公理都應加上全稱量詞，即假設它們對所有及所有。
實向量空間
實向量空間中加法的單位元記作0，或者，為了不混淆零向量和 數0，記作。
實向量空間
實向量空間注意，標量乘法將由實數c和向量組成的每對元素對應另一向量，這樣的法則稱為向量空間的外部合成法則。
實向量空間兩個向量的乘法不是結構的一部分，雖然可以定義不同的積，如中向量的叉積，這些積不完全是內在的，它們依賴於坐標的選擇，因此將它們看成向量空間上的額外結構。
仔細看一下公理(ii)．左邊是指先把a和b作為實數相乘，然後用ab和v作標量乘法而得到的向量，右邊兩個運算都是標量乘法。
兩個合成法則由基本的分配律聯繫起來．注意，在第一個分配律中左邊的符號+代表實數加法，而在右邊則代表向量加法。
相關性質
實向量空間在一個向量空間V中，下列等式成立(零向量記作)：
實向量空間(a)對所有
實向量空間(b)對所有
實向量空間(c)對所有.
證明 為證(a)，用分配律寫出
實向量空間
實向量空間
實向量空間兩邊消去得到。請仔細看一下，注意哪個0是數，哪個0是向量。
實向量空間
實向量空間類似地，。於是。最後
實向量空間
實向量空間 實向量空間因而，是的加法逆。
實向量空間 實向量空間例1的子空間是一個這樣的向量空間，即它的合成法則由上的合成法則導出。
實向量空間
實向量空間
實向量空間
實向量空間
實向量空間
實向量空間例2 設是複數集．忘掉複數乘法，只保持加法以及複數和實數的乘法，這使得成為實向量空間。
實向量空間例3 實多項式的集合是向量空間，其合成法則為多項式的加法以及標量和多項式的乘法。
實向量空間
實向量空間例4 設V是區間[0，1]上實值連續函式的集合，只看函式加法以及數與函式的乘法兩個運算，這使得V成為實向量空間。
注意，這些例子都有比我們將其視為向量空間更多的結構，這些是很典型的例子，每一個例子一定有不同於其他例子的特性，這並不是定義的缺陷，恰好相反，抽象方法的威力就在於一般公理的結論可用於許多不同的實例。
