塑性增量理論
正文
塑性力學中用應變增量表述彈塑性材料本構關係的理論，也稱塑性流動理論。彈塑性材料的本構關係與應變和應力的歷史有關，因而彈塑性材料的應力和應變之間沒有一一對應關係。為了反映變形的歷史，本構關係須以增量形式給出。研究簡史 1870年法國的A.J.C.B.de聖維南首先提出,在塑性變形過程中,塑性材料的應變增量的分量同應力偏量的分量成比例。此後，法國的M.萊維於1871年和德國的R.von米澤斯於 1913年各自獨立地得到三維情況的普遍的本構方程。1924年德國的L.普朗特提出，對某些彈塑性問題，應考慮彈性應變增量。A.羅伊斯於1930年將普朗特的思想推廣到三維應力問題，並建立了彈塑性體的普朗特-羅伊斯本構方程。此後,美國的W.普拉格和D.C.德魯克又給出了具有強化性質的材料的本構方程。
增量形式的本構方程 萊維和米澤斯認為，材料在屈服後即發生塑性流動。根據他們的理論，本構方程為：
de孆＝dλsij， （1）
式中de孆為塑性應變偏量增量的分量；sij為應力偏量的分量； dλ為非負的比例係數，它不僅和材料性質有關，而且和塑性變形歷史有關。式（1）稱為萊維-米澤斯方程。當彈性應變和塑性應變相比不可忽略時，應將彈性應變和塑性應變同時考慮,相應的普朗特-羅伊斯本構方程（簡稱普朗特-羅伊斯方程）為：
， （2）
式中deij、de、de孆分別為總的、彈性的和塑性的應變偏量增量的分量;G為材料的剪下模量(見材料的力學性能)。德魯克根據塑性變形過程中附加應力對應變增量所作的功非負這一假設，在應變增量主軸和應力主軸重合的前提下，得出塑性應變增量的矢量和屈服面（見屈服條件）法線方向重合的結論。如果屈服面的外法線方向用屈服函式f的梯度矢量
來表示，則有： ， （3）
式中σij為應力分量；dε孆為塑性應變增量分量。在幾何上,式（3）表示塑性應變增量的矢量與屈服面正交。在塑性變形體積不可壓縮的假設下，塑性應變增量的分量和塑性應變偏量增量的分量是相等的，即dε孆＝de孆。 （4）
f在式(3)中起著塑性勢能的作用。如果取f為米澤斯屈服函式,則由式（3）可以得到式（1）。式（3）稱為與屈服條件相關聯的塑性流動法則，也叫正交法則。對於強化材料，塑性變形通常改變屈服面的大小、形狀和位置（見強化規律），這時要用載入面（又稱後繼屈服面）來判斷一點的應力狀態是否達到了塑性狀態。如果材料在從一個塑性狀態變化到另一個塑性狀態的過程中產生新的塑性應變，則這個過程稱為塑性載入（簡稱載入）；如果從某個塑性狀態轉到某一彈性狀態的過程中並不產生新的塑性變形，則這個過程稱為卸載；如果材料從一個塑性狀態轉到另一個塑性狀態，而應力增量不引起塑性應變的變化，則這個過程稱為中性變載。由於在載入、卸載和中性變載過程中彈塑性介質的本構方程具有不同的形式，所以必須給出一個判斷載入、卸載和中性變載的準則。對強化材料,塑性加-卸載準則可表示為：
（5）
dλ＝hdf， （6）
式中h稱為強化函式,它與應力、應變、塑性變形歷史和強化模型的選取有關。根據式（3）和式（5）並考慮彈性應變增量,便可得到普拉格-德魯克的彈塑性強化材料的本構方程（簡稱普拉格-德魯克方程）：，
式中
為材料的彈性常數；重複下標表示約定求和。 套用和發展 在實際套用中,使用普朗特-羅伊斯方程或普拉格－德魯克方程求彈塑性問題的解析解是很困難的，但近年來它們在金屬結構的有限元分析（見有限元法）中得到廣泛的套用。在金屬加工和成型問題的計算中，由於塑性變形比彈性變形大得多通常略去彈性變形，因而萊維-米澤斯方程得到了廣泛的套用。
1951年，德魯克提出一個塑性的基本公設，稱為德魯克公設。它可敘述為：處於某一初始應力狀態下的材料單元，藉助一個外部作用，在原有的應力狀態上緩慢地加上一組附加的應力，然後卸除，則在附加應力作用過程中，以及在附加應力作用與卸除的一個循環內，外部作用所作的功是非負的。此外，蘇聯的A.A.伊柳辛也提出一個以應變表述的塑性基本公設。用這些公設可以證明塑性流動的正交法則，導出加-卸載準則,以及證明載入面的外凸性。這兩個公設對塑性力學的發展起了推動作用。
參考書目
王仁、熊祝華、黃文彬著：《塑性力學基礎》，科學出版社，北京，1982。
