基本介紹
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射設 是可測空間，其中T為某個集合， 為T中的可測子集族，X為拓撲空間， 為集值映射，若對於X中每一開集U， ，則稱集值映射F為 可測的。可測集值映射也稱為 集值隨機變數或 隨機集。
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射當X是可分度量空間，且 具非空緊值時，集值映射F是可測的若且唯若F作為從T到 中的單值映射是可測的(其中 表示X的一切緊子集所成之族，h為豪斯多夫度量)，它等價於：對X中每個閉集A，
可測集值映射當(X，d)是可分度量空間，且 具非空完備值時，F的可測性等價於下述條件之一：
可測集值映射
可測集值映射1. ，函式 是可測的。
可測集值映射2.F有一列可測單值選擇 使得
可測集值映射 可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射當X是局部凸可度量化可分向量空間，且具非空緊凸值時，F的可測性也等價於：，支撐函式是可測的，其中為X的對偶空間，對於與A⊂X ，
可測集值映射相關定義及定理
可測集值映射
可測集值映射定義1設為可測空間，X為拓撲空間，B(X)為X上的Borel代數。對集值映射，記F的圖
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射若有可測映射使得，則稱為F的可測選擇。
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射定義2 稱集值映射為強可測的，若任給；稱F為 可測的，若任給開集。
可測集值映射 可測集值映射定理1 設為可測空間，(X，d)為可分度量空間，為閉集值映射。考慮下列情況：
可測集值映射(1)；
(2) F為強可測的；
(3)F為可測的；
可測集值映射(4)為可測函式；
可測集值映射
可測集值映射(5)(Castaing表示)存在一列F的可測選擇使得；
可測集值映射(6) F為圖象可測的，即：。
那么我們有如下結論：
可測集值映射 可測集值映射 可測集值映射 可測集值映射(i) (1)(2)(3)(4)(6)；
可測集值映射(ii)當X還是完備的(即x是Polish空間)時，(3)(5)；
可測集值映射
可測集值映射(iii)當X是Polish空間，為完備的可測空間，即上
可測集值映射
可測集值映射
可測集值映射存在一σ-有限的完備測度μ(即，若，則)，則(1)~(6)全部等價。
可測集值映射
可測集值映射定理2為可測空間，X為可分度量空間，為集值映射．則下列命題等價
可測集值映射
可測集值映射(1) F為到度量空間的可測映射；
(2) F為強可測的；
(3) F為可測的。
可測集值映射
可測集值映射定理3為可測空間，X為可分Banach空間，為可測集值映射，則
可測集值映射(1)可測；
可測集值映射(2)可測;
可測集值映射 可測集值映射(3)可測，。
