基本介紹
反變換法是最常用且最為直觀的一種隨機變數生成方法。它基於 機率積分變換定理，通過對分布函式進行反變換來實現，因此稱為 反變換法。
反變換法 反變換法
反變換法設隨機變數X的分布函式為 ，則 的取值範圍為[0，1]。為了得到隨機變數的抽樣值，可以先產生在[0，1]區間上均勻分布的獨立隨機變數U，根據分布函式的性質，可知其分布函式的反函式 必然滿足
反變換法 反變換法因此，由得到的值即為所需要的隨機變數
反變換法如圖1所示。
圖1 反變換法的原理生成隨機變數的方法與步驟
反變換法可用於從均勻分布、指數分布、三角分布、威布爾分布以及經驗分布中取樣，同時也是很多離散分布產生樣本的基本方法。下面結合具體的例子來說明生成均勻分布、指數分布和離散均勻分布等幾種隨機變數的方法和步驟。其他幾種分布類型的隨機變數的生成，可自行查閱相關資料。
均勻分布
【 例1】均勻分布隨機變數X的生成。
設隨機變數X是[a，b]上均勻分布的隨機變數，即機率密度函式
反變換法
反變換法則由可得到x的分布函式
反變換法
反變換法根據其反函式，即有抽樣公式
反變換法
反變換法因此，可得採用反變換法生成均勻分布的隨機變數的一般步驟，具體如下：
反變換法
反變換法①生成獨立的均勻分布隨機數序列。
反變換法
反變換法 反變換法②令。則數列即為所求的均勻分布的隨機變數序列。
指數分布
【 例2】 指數分布隨機變數X的生成。
設X的分布函式為
反變換法
反變換法令，可得其反函式
反變換法
反變換法
反變換法由於，則，即隨機變數u與1-u的分布是相同的，所以上式可改寫為
反變換法由此，可得到生成指數分布的隨機變數的一般步驟如下：
反變換法 反變換法①生成獨立的均勻分布隨機數序列。
反變換法 反變換法②令，則數列即為所求的指數分布的隨機變數序列。
離散均勻分布
當X是離散型的隨機變數時，由於離散型隨機變數的分布函式也是離散的，因此反變換法的形式也有所不同，不能直接利用反函式來獲得X的抽樣值。
反變換法設X是離散型隨機變數，取值為，並記其機率密度函式為
反變換法且
反變換法相應的分布函式為
反變換法
反變換法為了套用反變換法得到離散隨機變數X，先將[0，1]區間按的值分成n個子區間
反變換法
反變換法
反變換法並依次編號為1，2，…，n。若U是[0，1]區間上的均勻分布隨機變數，則某個的值落在哪個子區間上，相應子區間對應的就是所需要的輸出量。
【 例3】離散均勻分布。
考察{1，2，…，n}上的離散均勻分布，其機率密度函式為
反變換法相應的分布函式為
反變換法
反變換法 反變換法令，如果均勻分布U(0，1)的隨機數滿足
反變換法則可以通過取X=i來生成隨機變數X。
反變換法
反變換法
反變換法由式可求解得，即取i的值為大於或等於的最小整數。因此，生成離散型均勻分布的隨機變數的一般步驟如下：
反變換法 反變換法① 生成獨立的均勻分布隨機數序列。
反變換法 反變換法② 令，則數列即為所求的離散型均勻分布的隨機變數序列。
