加權殘數法

加權殘數法是一種可以直接從微（積）分方程式求得近似解的數學方法，在計算力學中套用較多。

加權殘數法

其要點是：先假設一個稱為試函式的近似函式，把它代入要求解的微分方程和邊界條件或初值條件；這樣的函式一般不能完全滿足這些條件，因而出現誤差，即出現殘數或殘值；選擇一定的權函式與殘數相乘，列出在解的域內消滅殘數的方程式，就可以把求解微分方程的問題轉化為數值計算問題，從而得出近似解。
如某一套用科學問題的控制微分方程式和邊界條件分別為：

Fu-f＝0(V域)，(1)

Gu-g＝0(S域)，(2)

式中u為待求函式；F和G為算符；f和g為不含u的項。設試函式為：

(3)

式中Ci為待定參數或函式。式(3)一般不能滿足式(1)和式(2)，從而出現內部殘數Ri和邊界函式Rb，即

　(4)

　(5)

為消滅殘數，分別以內部權函式Wi和邊界權函式Wb乘式(4)和(5)，列出消除殘數的方程：

(6)

(7)

它們將轉變為代數方程式，從這些方程式求出Ci，就獲得滿足式(1)和式(2)的近似解(3)。
若解(3)中所選擇的試函式項Ni事先已能滿足式(2)，則只需用式(6)消除殘數,這種方法稱為內部法。若Ni已滿足式(1)，則只需用式(7)消滅殘數，這種方法稱為邊界法。若Ni既不滿足式(1)，又不滿足式(2)，則須用式(6)和式(7)，這種方法稱為混合法。
作為一種數值計算方法，加權殘數法具有下述優點：①原理的統一性：尋求控制微分方程式的近似解，不分問題的類型和性質；②套用的廣泛性：數學、固體力學、流體力學、熱傳導、核物理和化工等多學科的問題都能套用；既可解邊值問題、特徵值問題和初值問題，也可解非線性問題；③不依賴於變分原理：在泛函不存在時也能解題；④方法一般比較簡單、快速、準確，工作量少，程式簡單。

配圖

相關連線