定義
三角形重心的定義
三角形重心是三角形三邊中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合。
性質證明
證明一1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。
求證：EG=1/2CG
證明：過E作EH∥BF交AC於H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
證明二∴EG=1/2CG
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
證明方法：
在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，過O，A分別作a邊上高OH'，AH,可知OH'=1/3AH 則，S=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S；同理可證S=1/3S，S=1/3S所以，S=S=S
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）
證明方法：
設三角形三個頂點為(x,y),(x,y),(x,y) 平面上任意一點為（x，y） 則該點到三頂點距離平方和為：
(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)
=3x-2x(x+x+x)+3y-2y(y+y+y)+x+x+x+y+y+y
=3[x-1/3*(x+x+x)]+3[y-1/3*(y+y+y)]+x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)
顯然當x=(x+x+x)/3,y=(y+y+y)/3（重心坐標）時
上式取得最小值x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)
最終得出結論。
4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標
即其坐標為[(X+X+X)/3,(Y+Y+Y)/3]；
空間直角坐標系——橫坐標：(X+X+X)/3，縱坐標：(Y+Y+Y)/3，縱坐標：（Z+Z+Z）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，則M點為△ABC的重心，反之也成立。
7、設△ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
重心的性質及證明方法
三角形重心1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
三角形ABC，E、F是AC，AB的中點。EB、FC交於O。
證明：過F作FH平行BE。
∵AF=BF且FH//BE
∴AH=HE=1/2AE（中位線定理）
又∵ AE=CE
∴HE=1/2CE
∴FO=1/2CO（⊿CEO∽⊿CHF）
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
證明方法：
在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據重心性質知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高H1，H可知OH1=1/3AH 則，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）
證明方法：
設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為（x，y） 則該點到三頂點距離平方和為： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標）時
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最終得出結論。
4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均數，
即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標：（z1+z2+z3）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，則M點為△ABC的重心，反之也成立。
已知A,B,C是不共線的三點，O是△ABC內的一點，若向量OA+向量OB+向量OC=O.求證：O是△ABC的重心
設BC中點為D（後面說的都是向量），所以OB＋OC＝2OD，因為OA＋OB＋OC＝0，所以OA＋2OD＝0，所以OA＝－2OD，即O,A,D三點共線，所以APD所在直線為BC邊中線。同理可證另外兩條。綜上，所以O為三角形重心。（PS，重心是三條中線交點）
7、設△ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
8、相同高三角形面積比為底的比，相同底三角形面積比為高的比。
證明方法：
∵D為BC中點，
∴BD=CD,
又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，
∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，
即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,
∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE。
同理，∵E為AC中點，
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD。
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD。
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF。
∴BF=AF，
∴CF為AB邊上的中線，
即三角形的三條中線相交於一點。
重心順口溜
三條中線必相交，交點位置真奇妙，
交點命名為“重心”，重心性質要明了，
重心分割中線段，線段之比聽分曉；
長短之比二比一，靈活運用掌握好．
