三角形數

三角形數

古希臘科學家把數1,3,6,10,15,21……這些數量的(石子),都可以排成三角形,像這樣的數稱為三角形數。一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形,這樣的數被稱為三角形數。第n個三角形數是開始的n個自然數的和。任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。為了能方便地看出規律,我們把三角形數改排成圖。

定義

它有一定的規律性,排列如下(構成圖),像上面的1、3、6、10、15等等這些能夠表示成三角形的形狀的總數量的數,叫做三角形數。

一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形,這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形,因此10是一個三角形數:

x

xx

三角形數三角形數

xxx

xxxx

xxxx x

開始個18個三角形數是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……(OEIS中的數列A000217)

三角形數三角形數

第n個三角形數的公式是

或者

第n個三角形數是開始的n個自然數的和。

所有大於3的三角形數都不是質數。

開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方(舉例:1 + 8 + 27 + 64 = 100 =10)

所有三角形數的倒數之和是2。

任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。

一部分三角形數(3、10、21、36、55、78……)可以用以下這個公式來表示:n × (2n + 1);而剩下的另一部分(1、6、15、28、45、66……)則可以用n × (2n - 1)來表示。

三角形數三角形數

一種檢驗正整數x是否三角形數的方法,是計算:

如果n是整數,那么x就是第n個三角形數。如果n不是整數,那么x不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式8Tn + 1 = Sn + 1.

特殊的三角形數

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。

第11個三角形數(66)、第1111個三角形數(617,716)、第111,111個三角形數(6,172,882,716)、第11,111,111個三角形數(61,728,399,382,716)都是回文式的三角形數,但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。

和其他數的關係

四面體數是三角形數在立體的推廣。

兩個相繼的三角形數之和是平方數。

三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。

三角形數屬於一種多邊形數。

所有偶完美數都是三角形數。

任何自然數是最多三個三角形數的和。高斯發現了這個規律。他在1796年7月10日在日記中寫道:EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

構成圖形

o n=1 s=1

o o n=2 s=3

o o o n=3 s=6

o o o o n=4 s=10

o o o o o n=5 s=15

……

三角形數三角形數
三角形數三角形數

根據自然數列的求和公式,對於第n項的三角形數,可以得到其計算公式為:s(n)=1+2+3+...+n=n*(n+1)/2。

套用

1)前n個三角形數的和:T(n)=s(1)+s(2)+…+s(n)

三角形數三角形數

三角形數三角形數

得到:

.

三角形數三角形數

2)判斷一個數是否為三角形數:對任給一個正整數K,則若為三角形數,有:

得:n*(n+1)=2K

三角形數三角形數

從而:

[即2K開根號]

:則說明K是三角形數.

具體:你注意到了嗎,商店櫥窗里的罐頭盒一般都是這樣排列的。它們按照一定的規律排成了三角形。想一想:能不能把9個圓點按上面的規律排成一個三角形?9是不是三角形數?再想一想:能不能把25個圓點按上面的規律排成一個三角形?25是不是三角形數?為了能方便地看出規律,我們把三角形數改排成圖。觀察這些三角形數,你發現它們有什麼規律嗎?原來三角形數是從l開始的連續自然數的和。l是第一個三角形數,3是第二個三角形數,6是第三個三角形數,10是第四個三角形數,15是第五個三角形數……那么,第七個三角形數就是:1+2+3+4+5+6+7=28;第九個三角形數就是:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;第十個三角形數就是:1+2+3+…+10=55;第100個三角形數就是:1+2+3+…+100=5050。

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