三正弦定理

三正弦定理

該定理從老版高中教材人教版《數學》必修第二冊(下A),P35的例1:“河堤斜面與水平面所成的二面角為60°,堤面上有一條直道CD,它與堤腳水平線AB的夾角為30°,沿這條直道從堤腳向上行走10m時人升高了多少?”抽象出來的一般結論。

定理概述

三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理

設二面角M-AB-N的度數為 ,在平面M上有一條射線AC,它和棱AB所成角為,和平面N所成的角為,則(如圖)。

(註明:摺疊角公式(又名:三餘弦定理)以及三正弦定理的套用為立體幾何的解題帶來了許多方便。)

若已知二面角其中一個半平面內某直線與二面角的棱所成的角,以及該直線與另一半平面所成的角,則可以求該二面角的正弦值。

三正弦定理示意圖 三正弦定理示意圖

定理證明

如上圖,過C作CO⊥平面N於點O,過O作直線OB⊥二面角的棱於點B,連OA,CB,則易知△CAO,△CBO,△ABC均為直角三角形.

三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理

於是,,,。

三正弦定理 三正弦定理

由此容易推得 。

定理套用

如果將三正弦定理和三餘弦定理聯合起來,用於解答立體幾何綜合題,你會發現出乎意料地簡單,甚至不用作任何輔助線!

三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理
三正弦定理 三正弦定理

例1 如圖,已知是正三稜柱,D是AC中點,若,求以為棱,與為面的二面角的度數(1994年全國高考理科數學23題)。

三正弦定理套用之例1題圖 三正弦定理套用之例1題圖
三正弦定理套用之例1解答 三正弦定理套用之例1解答
三正弦定理 三正弦定理

例2 已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2,BC=3.P為斜邊AB上一點,現沿CP將此直角三角形折成直二面角A-CP-B(如下圖),當AB=時,求二面角P-AC-B大小(上海市1986年高考試題,難度係數0.28)。

三正弦定理套用之例2題圖 三正弦定理套用之例2題圖
三正弦定理套用之例2解答 三正弦定理套用之例2解答

參見

三餘弦定理

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