切線長定理

切線長定理，外文名：Theorem of length of tangent，是初等平面幾何的一個定理。它指出，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。即如圖，AB、AC切圓O於B、C，切線長AB=AC。

基本信息

• 中文名稱：切線長定理
• 外文名：Theorem of length of tangent
• 套用學科：數學

• 對象：圓
• 定義：從圓外一點可以引圓的兩條切線
• 所屬：幾何
• 推論：圓外切四邊形兩組對邊的和相等

證明

定理證明示意圖

以下簡述切線長定理的證明。

欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。

如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

推論

切線長定理推論：
圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等；

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

推導過程

觀察、猜想、證明，形成定理

例題

1、切線長的概念．如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長，引導學生理解：切線和切線長是兩個不同，概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。

2、觀察 利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特徵和各量之間的關係．

3、猜想 引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等於PB．PA=PB．

4、證明猜想，形成定理．猜想是否正確。需要證明．組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA=PB。

想一想：根據圖形，你還可以得到什麼結論？∠OPA=∠OPB(如圖)等

由此，引導學生推出切線長定理。

5、歸納： 把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

切線的性質：

(1)切線和圓只有一個公共點；

(2)切線和圓心的距離等於圓的半徑；

(3)切線垂直於經過切點的半徑；

(4)經過圓心垂直於切線的直線必過切點；

(5)經過切點垂直於切線的直線必過圓心；

6、切線長定理的基本圖形研究

例如這道：如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O於點D，E，交AB於C

(1)寫出圖中所有的垂直關係；(2)寫出圖中所有的全等三角形；(3)寫出圖中所有的相似三角形；(4)寫出圖中所有的等腰三角形。

說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活套用知識的基礎。

鑽石形推廣

如右圖，AB、AC與⊙O相切，連線BC，設BC與AO交於點H。

切線長定理

求證：AO⊥BC

∵AB、AC與⊙O相切

∴∠ABO=∠ACO=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO

AO=AO

∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）

∴∠AOB=∠AOC

在△BOH和△COH

∠AOB=∠AOC

BO=CO

OH=OH

∴△BOH≌△COH（S.A.S)

∴∠BHO=∠CHO

∵∠BHO+∠CHO=180°

∴∠CHO=∠BHO=90°

∴BC⊥AO。

（或更簡單，∵RtΔABO≌RtΔACO（HL），易得RtΔABO與RtΔACO關於AO軸對稱。由軸對稱的性質：對稱軸垂直平分連線對應點的線段可得，BC⊥AO。）