Bellman-ford算法除了可求解邊權均非負的問題外，還可以解決存在負權邊的問題（意義是什麼，好好思考），而Dijkstra算法只能處理邊權非負的問題，因此 Bellman-Ford算法的適用面要廣泛一些。但是，原始的Bellman-Ford算法時間複雜度為 O（VE）,比Dijkstra算法的時間複雜度高，所以常常被眾多的大學算法教科書所忽略，就連經典的《算法導論》也只介紹了基本的Bellman-Ford算法，在國內常見的基本信息學奧賽教材中也均未提及，因此該算法的知名度與被掌握度都不如Dijkstra算法。事實上，有多種形式的Bellman-Ford算法的最佳化實現。這些最佳化實現在時間效率上得到相當提升，例如近一兩年被熱捧的SPFA（Shortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路徑算法）算法的時間效率甚至由於Dijkstra算法，因此成為信息學奧賽選手經常討論的話題。然而，限於資料匱乏，有關Bellman-Ford算法的諸多問題常常困擾奧賽選手。如：該算法值得掌握么？怎樣用程式語言具體實現？有哪些最佳化？與SPFA算法有關係么？本文試圖對Bellman-Ford算法做一個比較全面的介紹。給出幾種實現程式，從理論和實測兩方面分析他們的時間複雜度，供大家在備戰省選和後續的noi時參考。
Bellman-Ford算法思想
Bellman-Ford算法能在更普遍的情況下（存在負權邊）解決單源點最短路徑問題。對於給定的帶權（有向或無向）圖 G=（V,E），其源點為s，加權函式 w是 邊集 E 的映射。對圖G運行Bellman-Ford算法的結果是一個布爾值，表明圖中是否存在著一個從源點s可達的負權迴路。若不存在這樣的迴路，算法將給出從源點s到 圖G的任意頂點v的最短路徑d[v]。
Bellman-Ford算法流程分為三個階段：
（1） 初始化：將除源點外的所有頂點的最短距離估計值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
（2） 疊代求解：反覆對邊集E中的每條邊進行鬆弛操作，使得頂點集V中的每個頂點v的最短距離估計值逐步逼近其最短距離；（運行|v|-1次）
（3） 檢驗負權迴路：判斷邊集E中的每一條邊的兩個端點是否收斂。如果存在未收斂的頂點，則算法返回false，表明問題無解；否則算法返回true，並且從源點可達的頂點v的最短距離保存在 d[v]中。
算法描述如下：
Bellman-Ford(G,w,s) ：boolean //圖G ，邊集 函式 w ，s為源點
1 for each vertex v ∈ V（G） do //初始化 1階段
2 d[v] ←+∞
3 d[s] ←0; //1階段結束
4 for i=1 to |v|-1 do //2階段開始，雙重循環。
5 for each edge（u,v） ∈E(G) do //邊集數組要用到，窮舉每條邊。
6 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then //鬆弛判斷
7 d[v]=d[u]+w(u,v) //鬆弛操作 2階段結束
8 for each edge（u,v） ∈E(G) do
9 If d[v]> d[u]+ w(u,v) then
10 Exit false
11 Exit true
下面給出描述性證明：
首先指出，圖的任意一條最短路徑既不能包含負權迴路，也不會包含正權迴路，因此它最多包含|v|-1條邊。
其次，從源點s可達的所有頂點如果 存在最短路徑，則這些最短路徑構成一個以s為根的最短路徑樹。Bellman-Ford算法的疊代鬆弛操作，實際上就是按頂點距離s的層次，逐層生成這棵最短路徑樹的過程。
在對每條邊進行1遍鬆弛的時候，生成了從s出發，層次至多為1的那些樹枝。也就是說，找到了與s至多有1條邊相聯的那些頂點的最短路徑；對每條邊進行第2遍鬆弛的時候，生成了第2層次的樹枝，就是說找到了經過2條邊相連的那些頂點的最短路徑……。因為最短路徑最多只包含|v|-1 條邊，所以，只需要循環|v|-1 次。
每實施一次鬆弛操作，最短路徑樹上就會有一層頂點達到其最短距離，此後這層頂點的最短距離值就會一直保持不變，不再受後續鬆弛操作的影響。（但是，每次還要判斷鬆弛，這裡浪費了大量的時間，怎么最佳化？單純的最佳化是否可行？）
如果沒有負權迴路，由於最短路徑樹的高度最多只能是|v|-1，所以最多經過|v|-1遍鬆弛操作後，所有從s可達的頂點必將求出最短距離。如果 d[v]仍保持 +∞，則表明從s到v不可達。
如果有負權迴路，那么第 |v|-1 遍鬆弛操作仍然會成功，這時，負權迴路上的頂點不會收斂。
例如對於上圖，邊上方框中的數字代表權值，頂點A,B,C之間存在負權迴路。S是源點，頂點中數字表示運行Bellman-Ford算法後各點的最短距離估計值。
此時d[a]的值為1，大於d[c]+w(c,a)的值-2，由此d[a]可以鬆弛為-2，然後d又可以鬆弛為-5,d[c]又可以鬆弛為-7.下一個周期，d[a]又可以更新為更小的值，這個過程永遠不會終止。因此，在疊代求解最短路徑階段結束後，可以通過檢驗邊集E的每條邊(u,v)是否滿足關係式 d[v]> d[u]+ w(u,v) 來判斷是否存在負權迴路。
