QR分解

QR分解

QR(正交三角)分解法是求一般矩陣全部特徵值的最有效並廣泛套用的方法,一般矩陣先經過正交相似變化成為Hessenberg矩陣,然後再套用QR方法求特徵值和特徵向量。它是將矩陣分解成一個正規正交矩陣Q與上三角形矩陣R,所以稱為QR分解法,與此正規正交矩陣的通用符號Q有關。 如果實(復)非奇異矩陣A能夠化成正交(酉)矩陣Q與實(復)非奇異上三角矩陣R的乘積,即A=QR,則稱其為A的QR分解。

分解方法

QR分解 QR分解

這裡給出一個利用Householder變換的QR分解方法 ,給定mxn階實矩陣,m≥n,本算法計算Householder矩陣H1H2...Hn滿足:如果Q=H1H2...Hn,則A=R是上三角矩陣,A1的上三角部分被R的上三角部分覆蓋,第j個Householder向量的j+1:m分量儲存於A(j+1:m,j),j<m.

for j=1:n

[ v,β]=house(A(j:m,j))

QR分解 QR分解
QR分解 QR分解

A(j:m,j:n)=(-β V)A(j:m,j:n)

if j<m

A(j+1:m,j)= v(2:m-j+1)

end

end

在Matlab中,語法為[Q,R]=qr(A)或者[Q,R,perm] = qr(A,0),如果A是一個m×n的矩陣,其QR分解後,Q為一個m×m的酉矩陣,R是一個m×n的上三角矩陣。

分解流程

(1)對需要求解的特徵值得矩陣進行QR分解

(2)對分解出來的結果進行逆向相乘

(3)將相乘得到的矩陣進行QR分解

(4)對分解出來的結果進行逆向相乘

實用意義

使用qr分解有助於加快解方程或求解速度即收斂速度。

套用領域

系統辨識是現代控制理論的重要組成部分。對系統的結構和參數進行辨識在工程上和理論上都占有重要的地位。最小二乘法是系統參數辨識中的重要估計方法,並在眾多領域和場合得到了廣泛的套用。

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