定義
參見：子式和餘子式、余因子矩陣和轉置矩陣
設R是一個交換環， A是一個以R中元素為係數的n×n的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義：
•定義：A關於第i行第j列的餘子式（記作M）是去掉A的第i行第j列之後得到的(n− 1)×(n− 1)矩陣的行列式。
•定義：A關於第i行第j列的代數餘子式是：
•定義：A的餘子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i行第j列的元素是A關於第i行第j列的代數餘子式。
經典伴隨變換引入以上的概念後，可以定義：矩陣 A的 伴隨矩陣是 A的餘子矩陣的 轉置矩陣：
經典伴隨變換也就是說， A的 伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj( A)），使得其第i行第j列的元素是 A關於第j行第i列的 代數餘子式：
經典伴隨變換例子
2x2矩陣
經典伴隨變換
經典伴隨變換一個 矩陣 的伴隨矩陣是
經典伴隨變換3x3矩陣
經典伴隨變換對於 的矩陣，情況稍微複雜一點：
其伴隨矩陣是：
經典伴隨變換其中
經典伴隨變換要注意伴隨矩陣是餘子矩陣的轉置，第3行第2列的係數應該是 A關於第2行第3列的代數餘子式。
具體情況
對於數值矩陣，例如求矩陣
經典伴隨變換
經典伴隨變換的伴隨矩陣 ，只需將數值代入上節得到的表達式中。例如 第2行第3列的代數餘子式為
經典伴隨變換因此伴隨矩陣中 第3行第2列的位置上是-6。
計算後的結果是：
經典伴隨變換套用
作為拉普拉斯公式的推論，關於n×n矩陣 A的行列式，有：
經典伴隨變換其中 I是n階的單位矩陣。事實上， Aadj( A)的第i行第i列的係數是
經典伴隨變換。根據拉普拉斯公式，等於 A的行列式。
如果i≠j，那么 Aadj( A)的第i行第j列的係數是
經典伴隨變換。拉普拉斯公式說明這個和等於0（實際上相當於把 A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為0）。
由這個公式可以推出一個重要結論：交換環R上的矩陣 A可逆若且唯若其行列式在環R中可逆。
這是因為如果 A可逆，那么
經典伴隨變換，
如果det( A)是環中的可逆元那么公式（*）表明
經典伴隨變換性質
對n×n的矩陣 A和 B，有：
經典伴隨變換
經典伴隨變換
經典伴隨變換
經典伴隨變換
經典伴隨變換
經典伴隨變換當n>2時，
經典伴隨變換如果 A可逆，那么
如果 A是對稱矩陣，那么其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果 A是反對稱矩陣，那么當n為偶數時， A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，n為奇數時則是對稱矩陣。
如果 A是（半）正定矩陣，那么其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。
經典伴隨變換
經典伴隨變換如果矩陣 A和 B相似，那么 和 也相似。
經典伴隨變換如果n>2，那么非零矩陣 A是正交矩陣若且唯若
伴隨矩陣的秩
當矩陣 A可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是n。當矩陣 A不可逆時， A的伴隨矩陣的秩通常並不與 A相同。當 A的秩為n-1時，其伴隨矩陣的秩為1，當 A的秩小於n-1時，其伴隨矩陣為零矩陣。
伴隨矩陣的特徵值
經典伴隨變換
經典伴隨變換設矩陣 A在復域中的特徵值為 (即為特徵多項式的n個根），則 A的伴隨矩陣的特徵值為 。
伴隨矩陣和特徵多項式
經典伴隨變換設p(t) = det( A−tI) 為 A的特徵多項式，定義 ，那么：
經典伴隨變換
經典伴隨變換其中 是p(t)的各項係數：
經典伴隨變換伴隨矩陣也在行列式的導數形式中。
