省刻度尺

省刻度尺是現代詞，是一個專有名詞，指的是數學術語。

數學常與“最優”概念聯在一起，因而“最節省”、“最有效”、……成了數學的一個重要課題。英國數學遊戲大師杜登尼（Ｈ．Ｅ．Ｄｕｄｅｎｅｙ，１８５７～１９３０）曾給出這樣一個問題：
一根23ｃｍ長的尺子，要求能夠度量出1~23任何整數厘米長的物品，至少要幾個刻度？我給出的答案是：只須６個刻度。（頭尾不用刻）這種尺被稱作“省刻度尺”，如下圖：
0 1 4 10 16 18 21 23
其實這個答案不是惟一的，還有另一種解答也是６個刻度：
至於它的量法，我們用ａ→ｂ表示自ａ量到ｂ，比如３→８表示可量得５，８→１８表示可量得１０，等等。同時我們也稱能量得１～２２整數厘米刻度的度量為“完整度量”。請你按照要求給出下面4個能夠完整度量的省刻度尺：
⑴１３ｃｍ４個刻度（如下）：
0 1 4 5 11 13
⑵３６ｃｍ８個刻度（如下）：
0 1 3 6 13 20 27 31 35 36
⑶４０ｃｍ９個刻度（如下）：
0 1 2 3 4 10 17 24 29 35 40
考慮一下你給出的這些結果（刻度數）還能否改進？再請你討論：
⑴ｎｃｍ長的尺子至少要有多少個刻度才能完成１～ｎｃｍ的完整度量？
⑵有ｋ個刻度的尺子至多能在多大的ｎ範圍內完成１～ｎｃｍ的完整度量？
此外，省刻度尺問題還與圖形完美標號問題有關。所謂完美標號是指將０～ｋ這ｋ＋１個數字中的某些數填在一些圖形的結點處，再將相鄰兩結點的差的絕對值記在連線兩結點的線段上，若這些差的絕對值恰好為１～ｋ，則稱該圖是完美的，且稱標號為完美標號。比如右圖便是一個完美標號圖。
１９７８年胡迪（Ｃ．Ｈｏｄｅｅ）和庫珀爾（Ｈ．Ｋｕｉｐｅｒ）曾證明：所有星輪狀的圖形皆存
在完美標號。比如下面三個圖：
若將“刻度”視為“標號”，“度量”看作“標號之差的絕對值”，則省刻度尺可與完美標號問題“對應”起來（數學上叫同構），比如前面的省刻度尺問題(１)，即：１３ｃｍ尺子４個刻度（注意刻度０與１３雖未標出，但它卻是客觀存在的），可與右圖對應：
如此一來，這兩個問題只須研究其一，便可在另一問題中得出同樣的結果。如果你有興趣，不妨將另外兩個省刻度尺對應的完美標圖也畫出來。千萬不要只把這看作一種遊戲，目前，省刻度尺（庫珀爾尺)問題在物理、電子等領域已找到廣泛的套用。