基本概念
平面上的變換如果對應線段A’B’與AB的比是個正的常數：
相似性質則這種變換叫做 相似變換，常數k叫做相似比。
相似性質
相似性質 相似性質 相似性質在相似變換下，如果圖形 變為圖形 ，則說圖形 相似於圖形 。
從相似變換的定義可以直接看出，移動不過是相似變換當相似比k等於1的特殊情形。顯然位似變換是相似變換的特例。
相似性質介紹
相似變換具有下面的性質：
相似性質
相似性質(1)相似變換 的逆變換 仍是相似變換 。
相似性質事實上，設相似變換 的對應線段為AB和A’B’，相似比為k：
相似性質 相似性質則逆變換 的對應線段為A'B’和AB，並且它是以k的倒數
相似性質為相似比的相似變換。
相似性質
相似性質 相似性質 相似性質根據這個性質可知，如果圖形 相似於 ，則 也相似於 。
相似性質
相似性質(2) 兩個相似變換 和 的積仍是一個相似變換。
相似性質 相似性質
相似性質
相似性質
相似性質
相似性質 相似性質事實上，設相似變換 把線段AB變為AB，相似比為k；相似變換 把線段 變為 ，相似比為 。這時兩個相似變換的積 把線段AB變為 ，而且
相似性質 相似性質
相似性質因此， 是以 為相似比的相似變換。所以，平面上所有相似變換構成一個群叫做 相似變換群。
相似性質
相似性質 相似性質
相似性質 相似性質 相似性質根據這個性質可知，如果圖形 相似於 ， 相似於 ，則 相似於 。
相似性質 相似性質 相似性質其次，由上面兩個性質可知，相似變換 是恆等變換，恆等變換把每個圖形 變為本身，因此，每個圖形 相似於本身 。
(3) 在相似變換下，一條直線上的點，仍變到一條直線上，也就是直線變為直線。
事實上，設A、B、C是一條直線a上的三個點，並且點B在A與C之間，A’、B‘，C’是它們的對應點(圖1)根據相似變換的定義：
相似性質
圖1這裡k是相似比，由此得到，
相似性質因為，AB+BC=AC，
所以A'B'+B'C'=A'C'，
因此，點A‘、B’、C’也在一條直線上，並且點B’在A‘與C’之間。
根據這個性質可知，在相似變換下，半直線變為半直線，角變為角，任意三角形變為與其相似的三角形。
(4)在相似變換下，一條直線上的三個點A、B、C的簡單比不變 。
相似性質 相似性質定義 一條直線上三個點A、B、C的簡單比是，這個簡單比常用記號(ABC)表示，A、B叫做基礎點，C叫做分點，簡單比與線段的分比略有不同，AB由分點C所得到的分比是，從有向線段來看，兩者差一個符號。C內分AB時簡單比是負值，外分時是正值。
設三點A、B、C在相似變換下，變為點A’、B‘、C‘，根據相似變換定義，
相似性質由此得到
相似性質也就是
相似性質(5) 在相似變換下，角的大小不變。
事實上，在相似變換下，任意三角形ABC變為相似三角形A‘B’C‘，且
相似性質因此三角形的角不變。
(6) 在相似變換下，對應三角形的面積比不變。
事實上，設三角形ABC變為A’B’C’，用h和h'表示這兩個三角形的高(圖2)根據上述性質，在相似變換下，h變為h'，因此，
相似性質
相似性質這裡，表示對應三角形的面積，由這個等式可知，三角形面積的比是相似變換的不變數。
我們看出，相似變換的不變性質和不變數是相似幾何里的主要研究對象。
研究決定相似變換的條件，我們有：
定理 相似變換由不共線的三對對應點唯一確定 。
