測度[數學術語]

數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。 測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函式和積分，其重要性在機率論和統計學中都有所體現。

定義

定義1：構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度 。

定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ → R∪{ +∽ }是一集合函式，且ρ滿足：

（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為機率測度。

性質

下面的一些性質可從測度的定義導出：

單調性

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度 的單調性： 若 和 為可測集，而且 ，則 。

可數個可測集的並集的測度

測度[數學術語]

測度[數學術語]

若 為可測集（不必是兩兩不交的），則集合 的並集是可測的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

如果還滿足並且對於所有的 ， ，則如下極限式成立：

測度[數學術語]

可數個可測集的交集的測度

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

若 為可測集，並且對於所有的 ， ，則 的交集是可測的。進一步說，如果至少一個 的測度有限，則有極限：

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

如若不假設至少一個 的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個 ，令

測度[數學術語]

這裡，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

完備性

測度[數學術語]

測度[數學術語]

一個可測集稱為 零測集，如果。零測集的子集稱為 可去集，它未必是可測的，但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測，則稱該測度為 完備測度。

測度[數學術語]

測度[數學術語]

測度[數學術語]

一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：考慮的所有這樣的子集 F，它與某個可測集 E僅差一個可去集，也就是說 E與 F的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集 F生成的σ代數，並定義的值就等於。

例子

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。

測度[數學術語]

計數測度定義為 的“元素個數”。

測度[數學術語]

測度[數學術語]

一維勒貝格測度是定義在 的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足 的唯一測度。

Circular angle測度是旋轉不變的。

局部緊拓撲群上的 哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。

測度[數學術語]

測度[數學術語]

恆零測度定義為 ，對任意的 。

每一個機率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂 機率測度。見機率論公理。

其它例子，包括：狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。