流形上的偏微分運算元

定義在整個微分流形上的偏微分運算元。 在局部坐標下，微分運算元的主符σ(l)(ξ)可表示為 Coker(l)的維數稱為運算元l的指標。

流形上的偏微分運算元

正文

定義在整個微分流形上的偏微分運算元。在一個未知函式的情形,m 階線性的偏微分運算元是M上C∞函式的集合C∞(M)到C∞(M)的一個線性映射l，而在每一坐標區域中，l可表示為

這裡

顯然,在兩個坐標區域的重迭部分，l的兩種表示可以通過坐標變換互相轉換。例如，黎曼流形上的第二類貝爾特拉米運算元，在每一個坐標區域中可表示為

這裡gij(x)是度量張量的反變分量，是克里斯托費爾符號（見黎曼幾何學）。
多個未知函式的線性偏微分運算元 l可定義如下：設是定義在M上的向量叢，Г(E1)為C∞截面的全體,同樣Г(E2)表示另一向量叢的C∞截面的全體,l是Г(E1)到Г(E2)的線性映射，它滿足：對每一小的坐標區域U，如果Г(E1)和Г(E2)中的元素在U上的限制可以用m1元和m2元的列向量函式來表示，則l可以寫為

這裡αα(x)是m2×m1陣,m1和m2分別是E1和E2的纖維的維數。
在局部坐標下，微分運算元的主符σ(l)(ξ)可表示為

偏微分運算元的類型可由其主符（和通常偏微分運算元一樣地）來決定。特別，對任何ξ≠0，若 σ(l)(ξ)恆為非異方陣時,運算元l就是橢圓型的，例如，第二類貝爾特拉米運算元Δ的主符可表示為

由於黎曼度量是正定的，所以Δ是橢圓運算元。
對運算元l而言，可以定義其象 其核ker(l)= {u∈Г(E2),lu=0}，還可以作余核 Coker(l)=Г(E2)/Im(l),它們都是線性空間。當l是橢圓型偏微分運算元時,可以證明Ker(l)和Coker(l)都是有限維的,Ker(l)的維數減去 Coker(l)的維數稱為運算元l的指標。20世紀60年代,M.F.阿蒂亞和I.M.辛格得到著名的指標定理:橢圓運算元l的指標是由向量叢E1、向量叢E2和主符σ(l)所確定的一個拓撲不變數。
在微分幾何中時常要求解由微分運算元所定義出來的偏微分方程，這種方程的解是否存在，有多少，往往不僅依賴於方程本身，而且依賴流形的性質。例如貝爾特拉米-拉普拉斯方程
　 Δ u＝0
在緊緻流形上就只有常數解。
在微分流形中也可以定義非線性的偏微分方程，其重要性也與日俱增,極小曲面方程,蒙日-安培方程、楊-米爾斯方程都是非線性的偏微分方程。

配圖

相關連線