活塞運動方程

活塞運動方程

活塞運動方程是活塞運動的數學證明形式。活塞頂部在曲軸旋轉中心最遠的位置叫上死點、最近的位置叫下死點、從上死點到下死點的距離叫活塞衝程。活塞式航空發動機大多是四衝程發動機,即一個氣缸完成一個工作循環,活塞在氣缸內要經過四個衝程,依次是進氣衝程、壓縮衝程、膨脹衝程和排氣衝程。

基本信息

曲軸幾何

定義

活塞運動方程 活塞運動方程

活塞桿長度(活塞銷與曲柄銷之間的距離)

活塞運動方程 活塞運動方程

曲柄半徑(曲柄銷與曲柄中心之間的距離,即半行程)

活塞運動方程 活塞運動方程

曲軸轉角(從缸膛中心線開始)

活塞運動方程 活塞運動方程

活塞銷位置(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)

活塞運動方程 活塞運動方程

活塞銷速度(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)

活塞運動方程 活塞運動方程

活塞銷加速度(從曲軸中心沿缸膛中心線向上)

活塞運動方程 活塞運動方程

曲柄角速度

角速度

所述曲軸的角速度,即是發動機每分鐘轉數(RPM):

活塞運動方程 活塞運動方程

三角關係

圖一 圖一

如圖一所示,曲柄銷,曲柄中心和活塞銷形成角NOP。根據餘弦定理可以看出:

活塞運動方程 活塞運動方程

關於角度位置的方程

以下公式描述活塞相對於曲軸轉角的往復運動。下面顯示了這些方程的示例圖。

位置

相對於曲軸轉角的位置(通過重新排列三角關係):

活塞運動方程 活塞運動方程

速度

相對於曲軸轉角的速度(採用一階導數,使用鏈式法則):

活塞運動方程 活塞運動方程

加速

關於曲軸轉角的加速度(採用二階導數,使用鏈式法則和商法則):

活塞運動方程 活塞運動方程

時間方程

角速度導數

如果角速度是恆定的,那么

活塞運動方程 活塞運動方程

並適用以下關係:

活塞運動方程 活塞運動方程
活塞運動方程 活塞運動方程

從角度域轉換到時域

下面的等式描述了活塞相對於時間的往復運動。如果時間域是必需的,而不是角度域,先用 ω 取代在等式噸,然後擴展為角速度如下:

位置

單純相對於時間的位置即是:

活塞運動方程 活塞運動方程

速度

相對於時間的速度(使用鏈式法則):

活塞運動方程 活塞運動方程

加速

相對於時間的加速度(使用鏈式法則和乘積法則以及角速度導數):

活塞運動方程 活塞運動方程

角速度的比例關係

速度最大值和最小值

加速過零點

速度的最大值和最小值都沒有在曲柄角度發生(A)加或減90°。速度最大值和最小值出現取決於桿長(l)和半行程(r)的曲柄角上,並且對應於加速度為零(橫過水平軸)的曲柄角。

曲柄桿角度不正確

當曲柄與桿成直角時,速度最大值和最小值不一定會發生。有反例證明當曲柄角度正確時速度最大值/最小值出現的觀點。

示例

對於 6 英寸的連桿長和 2 英寸的曲柄半徑,通過數值求解加速度過零點,可確定速度最大值/最小值在曲柄角±73.17615°處。然後使用三角正弦定律,發現曲柄角為88.21738°,桿垂直角為18.60647°。在這個例子中,顯然地曲柄和連桿之間的角度並不是直角。

總結三角形的角度 88.21738°+ 18.60647°+ 73.17615°給出 180.000°。這個反例就反駁了“速度最大值/最小值是發生在當曲柄與桿成直角時”的說法。

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