楊－米爾斯理論

楊－米爾斯理論

正文

強子（參與強相互作用的基本粒子）的結構模型圖

又稱規範場理論，是研究自然界四種相互作用（電磁、弱、強、引力）的基本理論，是由物理學家楊振寧和R.L.米爾斯在1954年首先提出來的。它起源於對電磁相互作用的分析，利用它所建立的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論，已經為實驗所證實，特別是這理論所預言的傳播弱相互作用的中間玻色子，已經在實驗中發現。楊－米爾斯理論又為研究強子（參與強相互作用的基本粒子）的結構提供了有力的工具。在某種意義上說，引力場也是一種規範場。所以這一理論在物理中的作用非常重要。數學家注意到楊－米爾斯場中的規範勢恰是數學家在20世紀30～40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯絡。不僅如此，他們還發現，這一理論中出現的楊－米爾斯方程是一組數學上未曾考慮到的極有意義的非線性偏微分方程。1975年以來數學家對楊－米爾斯方程進行了許多深入的研究，這些研究對於純粹數學的發展，也起了推動作用。
從物理學知道，電磁場的強度E和H可以用閔科夫斯基時空中的反對稱張量Fλu表示(λ，μ=1，2，3，4)：

， 　 (1)

並且存在電磁勢Aλ，使

， 　 (2)

這裡的Aλ可容許規範變換

, 　 (3)

φ是任意函式。如置,那么規範變換就可以用U(1)群的李代數u(1)(i為其基)中的關係式來表示

，

U(1)群反映了帶電粒子的波函式所容有的內稟對稱性。
楊振寧和R.L.米爾斯根據中子和質子的同位旋對稱性(用群SU(2)來體現)，預言必存在某些場,它們由規範勢bλ所定義，bλ∈su(2)，（su(2)記SU(2)的李代數），它們也有規範變換

。 (4)

這裡S是SU(2)值函式。由bλ定義的規範場有它的強度

。 (5)

它比(1)複雜，這是因為SU(2)是非可換群之故。這種作法可形式上推廣到任何李群G。
用數學的語言來說，楊－米爾斯的規範勢就是閔科夫斯基空間R 3,1 上的直積纖維叢G×R3,1 上的聯絡,Fλu就是曲率。
然而楊-米爾斯還提出了楊-米爾斯作用量（規範勢的泛函）

。

這裡(，)是李代數的嘉當內積，作它的變分，就得到純楊-米爾斯方程

。

這裡ηλ寶 是以1，1，1，-1為對角元的對角陣，是閔科夫斯基空間的度量張量。70年代中期起，楊振寧等注意到，不是直積的纖維叢的整體理論對物理很有作用,例如,第一陳示性數可以表示磁荷。數學家也大力研究楊－米爾斯理論，特別是楊－米爾斯方程。這是一組非線性的偏微分方程，有相當高的複雜性。數學家除了研究閔科夫斯基時空上的楊－米爾斯方程外，還研究一般的可定向的四維黎曼流形上的楊－米爾斯方程。特別,如果*是霍奇運算元，若

成立,則bλ必然是楊-米爾斯方程的解。這種解稱為自對偶的和反自對偶的。已經證明，在許多很有意義的四維黎曼流形上這種解是存在的，也已經弄清了這種解的自由度，在某些特殊情形下，這些解能夠用代數幾何的方法顯式地作出。這是解非線性偏微分方程的值得注意的新方法。此外，對於解的空間(稱為模空間)的拓撲結構也開始有所了解。這些研究已對四維拓撲流形是否可有微分結構的問題作出了很有意義的結果。利用這些結果，1983年,M.弗里德曼引出了如下的出人意外的結果:作為拓撲空間的歐氏空間E4 容有非平凡的可微分結構（人們已經知道En (n≠4)只有平凡的可微分結構）。人們預料，E4 的這種例外情形，在數學中（或許對物理）將會有很大的影響。
楊－米爾斯場數學問題的研究還有許多方面的問題。中國數學家和理論物理學家對楊－米爾斯場的研究作了若干貢獻。

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