希爾伯特-黎曼流形

希爾伯特-黎曼流形（Hilbert-Riemann manifold）是指定了黎曼度量的希爾伯特流形。

簡介

希爾伯特流形

希爾伯特流形是模空間為希爾伯特空間的巴拿赫流形。

定義

希爾伯特-黎曼流形是指定了黎曼度量的希爾伯特流形。

希爾伯特-黎曼流形

設M是希爾伯特微分流形，M上的黎曼度量指的是M上的一個連續的正定對稱二階協變張量場g。M連同其上給定的黎曼度量g稱為希爾伯特-黎曼流形，記為(M,g)，這時，∀p∈M，由 給出了TM上的內積<∙,∙>=g(∙,∙)。

性質

當M連通時，黎曼度量g誘導出了M上的距離ρ。

若(M,ρ)是完備的度量空間，則稱(M,ρ)是完備的希爾伯特-黎曼流形。當M仿緊時，M上的黎曼度量是存在的。

黎曼度量是一種特殊的芬斯勒結構。希爾伯特-黎曼流形是特殊的巴拿赫-芬斯勒流形。

芬斯勒結構

芬斯勒結構是巴拿赫向量叢上的範數結構。

芬斯勒結構因芬斯勒(Finsler,P. )的工作而得名。

當巴拿赫流形M仿緊時，叢ξ上芬斯勒結構總是存在的。