壓縮映射法

壓縮映射法是不動點法中一種常用的方法。它的根據是壓縮映射原理：設X是一個完備的距離空間，f是從X到X的一個壓縮映射，那么f在X中必有且僅有一個不動點，而且從X的任何點x。出發作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…這序列一定收斂到f的那個不動點。稱f是壓縮映射，如果它把X中每兩點的距離至少壓縮k倍，這裡k是一個小於1的常數，也就是說X中每兩點x與y的像f(x)與f(y)的距離d(f(x)，f(y))不超過x與y的距離d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。

壓縮映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年給出的，這種思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。該法能夠提供許多種方程的解的存在性、唯一性及疊代解法，只要方程的解能轉化為某個壓縮映射的不動點。現在這一方法已經推廣到非擴展映射、映射族、集值映射、機率度量空間等許多方面。