友誼數

友誼數

友誼數也稱親和數、相親數、互滿數、互完數、友好數等,兩個自然數,一個數(除了該數自身以外)的所有(整數)因數的和,等於另一個數,則稱此兩數為一對友誼數。220與284為友誼數。因為220的整數因數為1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、及110,其和是284;而284有整數因數1、2、4、71及142,其和是220。在10以下的數中,共有42對親和數。至今,人們已發現了近千對親和數。

基本介紹

問題導引:

友誼數 友誼數

的真因數之和為:

友誼數 友誼數
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的真因數之和為:

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畢達拉哥斯把這樣的數對稱為相親數,即友誼數:的真因數之和為,而的真因數之和為。最小的一對親和數是和。

介紹:

友誼數 友誼數
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友誼數(也稱親和數)是一類著名的正整數,它與完滿數 有密切關係,如果正整數m的小於自身的因數之和等於n,而n的小於自身的因數之和又等於m,則稱m,n為一對親和數。即親和數是和同時成立的兩個數m,n。例如:

友誼數 友誼數
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所以220和284是親和數,這對親和數是畢達哥拉斯(Pythagoras)提出來的,第二對親和數17296和18416是1636年費馬(Fermat,P.de)提出來的,第三對親和數9363584和9437056是1638年笛卡兒(Descartes,R.)發現的.1750年,歐拉(Euler,L.)比較系統地研究了親和數後,提出了61對親和數,有一對較小的親和數1184與1210,在1866年才被發現。

註:①在自然數中人們把恰好等於自身的全部真因子之和的數,定名為“完全數”,也叫“完滿數”。如:6=1+2+3;28=1+2+4+7+14就是兩個最小的完全數 。

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人們一般把親和數的發現歸功於古希臘的畢達哥拉斯(Pythagoras,約公元前572—前497年)學派。據說,當有人問畢達哥拉斯:“朋友是什麼?”他回答: “這是第二個自我,正如220與284。”但也有學者認為印度人和希伯來人在更早的時候已經知道親和數了。

親和數以其奇妙的性質, 在古代曾被蒙上相當神秘的色彩。例如認為分別寫上220與284的護符會使其佩帶者保持良好的友誼。希臘人用他們的字母表示數,因此每個人的名字也相應地可以表示一個數字。有一個未經證實的中世紀故事說: 有一位國王的名字在字數術上與284等價, 他因此要尋求一位名字代表220的女子做他的王后, 他相信這才是上天保證的美滿姻緣。

親和數非常稀少。自從古代發現了第一對後,直到1636年才由法國數學家費爾馬 (Fermat, 1601—1665)宣布17296和18416為另一對親和數。18世紀,歐拉(Euler.1707—1783,瑞士) 曾系統地尋找親和數,1747年給出一張30對的表,1750年擴展到60對以上。1866年,一個16歲的義大利男孩帕格尼尼(N.Paganini)發現了被人們忽視了的較小的一對1184和1210,成為親和數研究史上的一件奇事。現在,已經知道的親和數已有1000對以上。

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有許多辦法尋求親和數對。阿拉伯數學家泰比特·伊本·柯拉(Tabit ibn Qorra,826—901)指出,對於, 令, 只要全是素數,則就是一對親和數。17世紀, 笛卡爾 (Descartes)重新得到這一公式。對n=2,它產生(220,284),但它顯然只能產生較特殊的一類親和數。

現代,親和數對已被推廣為親和數鏈:鏈中每個數的因數之和等於下一個數, 而最後一數的因數之和等於第一個數, 如(12496, 14288, 15472,14536, 14264)。

1965年, 人們發現了一個以14316開頭的28環鏈。

數論中與親和數有關的許多問題, 既有趣, 又困難,例如,這種數是否有無限多對,就是一個至今尚未解決的著名難題 。

友誼數的起源

友情真是有著無窮的號召力和影響力,它甚至超越了人和人之間的界限,連自然界中也有友情的存在。我們經常看見兩棵樹的根部緊緊相連,表現得親密無間,北燕南飛要成群結隊,團結友愛,共度艱難困苦。數學中也有友情,某些數字之間有著某種特殊的、天然的親和,人們將這些數字叫做親和數。所謂親和數是指具有這樣關係的兩個數字,每個數的真因子之和都恰好等於另一個數。親和數和人們是老朋友了,很久以前人們就發現了它們。世界上第一對被人們發現的親和數是220和284,它最早出現在公元4世紀,哲學家亞姆利康的書中,首次記載了這對數。而親和數這個概念是在公元前5世紀的時候才開始被人們使用的,是古希臘數學家畢達哥拉斯最先引用的。古希臘數學家畢達哥拉斯在研究中發現,220的所有真因數1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110,其和是284;而284的所有真因數1、2、 4、71、142,其和又恰是220。它們之間的這種特殊的關係只是一種巧合嗎?還是只是小荷才露尖尖角呢?“數為物源”,畢達哥拉斯對此深信不疑,這也是畢達哥拉斯學派的信條。但是有一位他的學生對“數為物源”提出了質疑,這一信條是否就是真理呢?於是他就向畢達哥拉斯提出了疑問:“既然說‘數為物源’,那么世界上所有的事就都是數字決定的嗎?那我結交朋友時,數字又起了什麼作用呢?”畢達哥拉斯作出了近乎完美的回答,捍衛了他一生所深信不疑的信條,他回答說:“朋友是你靈魂的倩影,就像220和284一樣親密。”這就是有關親和數名稱的由來。後來,畢氏學派宣傳說:人之間講友誼,數之間也有“相親相愛”,就是出於這個典故。可惜畢達哥拉斯並沒有如願以償地發現第二對親和數。兩千年以後,法國的費馬和笛卡兒發現了第二對親和數17296和18416。在這期間,無數的數學家為了尋找出第二對親和數苦思勞心,從沒停止過對第二對親和數的尋找。數海無邊,要找出親和數談何容易,有些數學家甚至窮其一生,但是都沒有獲得結果。由於對親和數的尋找始終沒有結果,人們開始懷疑是不是在自然數中只存在那一對親和數,有些人捕風捉影,甚至給親和數帶上了迷信的帽子。好在費馬和笛卡兒及時地發現了第二對親和數,捍衛了科學的嚴肅性,在親和數發現的歷程上劃破了沉寂的夜空。笛卡兒和費馬憑藉他們天生對數字的敏感和堅持不懈的努力,在短短的兩年內就得出了第二對親和數。人們又重新燃起了希望,後來的數學家歐拉一下就給出了三十對親和數。目前,人們還沒有找到能夠普遍尋找到親和數的公式。計算機的問世使尋找親和數變得簡單明了了,但是,即使是計算機也沒有突破長久以來的局限,在未來的漫長旅途中我們的數學家會不會給我們帶來驚喜呢?讓我們拭目以待吧 !

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