（協變）張量的定義
坐標系的變換關係
僅討論笛卡兒右手直角坐標系。
協變張量
協變張量舊坐標系： 單位基矢量： ；
協變張量
協變張量新坐標系： 單位基矢量： ，如圖1所示 。
圖1（a）標架變換
圖1（b）標架變換新舊基矢量夾角的方向餘弦：
協變張量坐標系的(標架)變換關係(舊錶新)：
協變張量其中
協變張量為變換係數矩陣，（2）也可表示為
協變張量坐標系的(標架)變換關係(新表舊)：
協變張量其中
協變張量為矩陣(3)的逆，(4)也可表示為
協變張量標量(純量Scalar)
標量在坐標變換時其值保持不變，即滿足
協變張量如數學中的純數，物理中的質量、密度、溫度等。
問題：時間是否標量?(答案：是標量，可以用一個數字表示。)
注 標量是0階張量。
協變矢量
協變張量矢量在坐標變換時一般要改變，滿足以下變換關係的三個量 定義一個矢量：
協變張量
協變張量
協變張量
協變張量設為任意矢量，其在新、舊坐標系下的(協變)分量分別為 和 ，即 ，所以
協變張量得
協變張量而
協變張量得
協變張量可見矢量的變化規律與坐標架變換(2)一致，故為 協變。代人上式(換啞指標)，
協變張量得
協變張量比較上式兩邊，得
協變張量即該變換是正交的。
推廣到協變張量
將矢量定義加以推廣：(增加指標和相應的變換係數)
協變張量 協變張量
協變張量對於直角坐標系 ，有9個量 按照(協變)關係
協變張量 協變張量
協變張量變換成 ，中的9個量 ，則此9個量定義一個二階(協變)張量。
各階(協變)張量小結：
協變張量——零階張量(標量)
協變張量——一階張量(向量)
協變張量——二階張量
協變張量——三階張量
協變張量——n階張量
二階張量的另一種定義：
協變張量二階張量T是把任意一個矢量 變換成另一個矢量 b的線性變換，表達式為
協變張量而且具有下列線性性質：
協變張量加法：
協變張量
協變張量標乘： (其中 ) 。
向量空間的張量代數
協變張量
協變張量向量空間的張量代數(tensor algebra of vector space)是由向量空間與其對偶空間的張量積直和所構成的代數。向量空間V的 型張量空間 定義為
協變張量
協變張量
協變張量其中 ， 是V的對偶空間，對於這樣一些向量空間取直和
協變張量則在張量積的運算之下，T(V)成為一個代數，稱為向量空間V的 張量代數 。
協變張量
協變張量
協變張量 協變張量 協變張量T(V)中的元素稱為 張量，它是各個 中的元素關於R的有限線性組合， 中的元素稱為 r階反變張量， 中的元素稱為 s階協變張量， 中的元素稱為 階 齊次張量。
協變張量
協變張量設 與 分別是V和V*彼此對偶的基底，則
協變張量
協變張量 協變張量 協變張量是 的基底。因此， 型張量x可以惟一地表成
協變張量
協變張量其中 稱為張量x在上述基底下的分量。
處理張量時，通常採用愛因斯坦的和式約定：在一個單項表達式中出現重複的上、下指標，表示該式關於這個指標在它的取值範圍內求和，而略去和號不寫，採用這個約定，上述張量x可寫成
協變張量
協變張量
協變張量
協變張量
協變張量設x是 型張量，y是 型張量，則它們的積 是 型張量 。
