判別式法

判別式法

“判別式法”是我們解題時常用的方法,對初高中同學來說,在解題中常常用到,掌握它很有必要,下面舉例說明它的作用。

定義

作用

可以判斷方程有沒有根以及有幾個根,b^2-4ac<0無根,b^2-4ac=0有兩個相等根即一個根,b^2-4ac>0有兩個不相等根

說明

可用 判別式法簡化為關於x的二次方程。

例如y=50x/(1+(x的平方)) ,附加限制條件(x>0) ,求y的最大值 。

yx^2-50x+y=0 由於兩根之積為1,說明兩根同號,那就必然是同正,所以兩根之和為正,也就是50/y>0。

定義域情況

定義域非R有兩種情況

第一種:被摳掉了一點或兩點(不會考多)只需檢驗即可 ( 至於具體如何檢驗: 應當理解,判別式法的原理在於求 x有解情況下 y的範圍 這解可能為兩個 也可以為一個 也就是說即使摳掉的那個點在某y值下是一個解 只要此時判別式不等於零也就是還有另外的解 而那個解在定義域內則該y 值就可以取到 理解到這裡就行了)

第二種也就是諸如(x>0) 。這種一般有兩種考慮方法。

第一種就是從正面考慮,也就是在判別式大於等於零下,分為“一個解大於零另一個解小於等於零”和“兩解均大於零(包含兩解相等)”兩種可能具體方法。須用韋達定理求解。

還可以從反面考慮,也就是在判別式大於等於零下排除兩解都小於等於零的情況

還有種可能就是定義域為x>1。

此情況,只需參照上面方法,將 X1*X2 轉化為(X1-1)(X2-1)這種形式即可。若求和亦然。

應當提的是 當遇到第二種情況(即並非摳點的情況)時,適用判別式法的題就比較少了,那樣會比較麻煩。

應清楚解題方法。比如如下例題,最簡單就是把x 除下來,然後求均值就可結束。

運用

求函式的值域

例1. 求函式的值域。

解:將原函式變形得,把此方程看作關於x的一元二次方程,該方程一定有解,利用方程有解的條件求得y的取值範圍,即為原函式的值域。

當時,(說明函式值可以為0)。

當時,令,解得

故原函式的值域為

求最值

例2. 已知,且,試求實數a、b為何值時,ab取得最大值。

解:構造關於a的二次方程,套用“判別式法”。設 (1)

由已知得 (2)

由(1)(2)消去,對a整理得 (3)

對於(3),由,解得或。由,捨去,得。

把代入(3)(注意此時),得,即從而。

故當時,取得最大值為18。

證明不等式

例3. 已知。證明:恆成立。

解:不等式變形為

將不等式左邊看作關於y的二次函式,令。由,從而有:

,即。

對於二次函式,圖象開口向上,且在x軸上方,所以恆成立,即恆成立。

求參數的取值範圍

例4. 對於函式,若存在,使成立,則稱為的不動點。已知函式,對於任意實數,函式恆有兩個相異的不動點,求a的取值範圍。

解:對任意實數b,恆有兩個相異的不動點對任意實數恆有兩個不等實根對任意實數b,恆有兩個不等實根對任意實數恆成立。

可以將看作關於b的二次函式,則對任意實數恆成立

故的取值範圍是

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