介紹
在群論中， 初等阿貝爾群是有限阿貝爾群，這裡的所有非平凡元素都有p階而p是素數。
通過有限生成阿貝爾群的分類，所有初等阿貝爾群必定有如下形式
(Z/pZ)n.
對於非負整數n。這裡的Z/pZ指示p階的循環群(或等價的整數模以p)，而冪符號表示意味著n元笛卡爾積。
例子和形式
•初等阿貝爾群 (Z/2Z) 2有四個元素: { [0,0], [0,1], [1,0], [1,1] }。加法是逐分量進行，結果要模以 2。例如，[1,0] + [1,1] = [0,1]。
•(Z/pZ) n由n個元素生成，而n是最小的可能的生成元數目。特別是集合 {e, ...,e} 這裡的e在第i個分量中為 1 而在其他地方為 0 是極小生成集合。
•所有初等阿貝爾群都有非常簡單的有限展示:
初等阿貝爾群( / ) < , ..., | = 1, = >.
向量空間結構
初等阿貝爾群 初等阿貝爾群假設 = ( / )是初等阿貝爾群。因為 /，即 個元素的有限域，我們有 = ( / )，所以 可以被認為是在域 上的 -維向量空間。
讀者可能發現 F有比群 更大的結構，特別是它除了(向量/群)加法之外還有標量乘法。但是 作為阿貝爾群有唯一一個 -模結構，這裡的 的作用對應於重複的加法，而這個 -模結構一致於 標量乘法。就是說， · = + +...+ ( 次) 這裡的 在 中(考慮為整數帶有 0≤ < ) 給予 一個自然的 -模結構。
自同構群
作為向量空間V有如例子中那樣的基{e, ...,e}。如果我們選取 {v, ...,v} 為任何V的n個元素，則通過線性代數我們有映射T(e) =v唯一擴張為 V 的線性變換。每個這種 T 都可以被認為是從V到V的群同態(自同態)並同V的任何自同態一樣可以被認為是V作為向量空間的線性變換。
如果我們限制注意力於V的自同構，我們有 Aut(V) = {T:V->V| kerT= 0 } = GL(F)，即在 F上的n×n可逆矩陣的一般線性群。
