定理內容
凱西定理
凱西定理
凱西定理 凱西定理
凱西定理
凱西定理設 是一個半徑為 的圓， 是（按此順序）位於內部的四個不相交的圓圈， 和它相切， 表示圓 外部共同點的長度，然後 ：
凱西定理請注意，所有四個圓都減少到點情況下，這正是托勒密定理。
圖1.凱西定理證明
凱西定理
凱西定理 凱西定理
凱西定理
凱西定理半徑為 的圓 與圓 相切於點 ，用符號 表示圓的中心，畢達哥拉斯定理表示如下：
凱西定理
凱西定理
凱西定理用點 來表示長度 。由三角形 的餘弦定律，
凱西定理 凱西定理因為圓 相切：
凱西定理
凱西定理 凱西定理
凱西定理設 成為圓 上的一個點，根據三角形 的正弦定律：
凱西定理因此，
凱西定理代入上述公式：
凱西定理
凱西定理
凱西定理最後，求得長度
凱西定理
凱西定理現在可以評估等式左側，藉助於原始托勒密定理套用於內切四邊形 :
凱西定理
凱西定理進一步概括
可以看出，四個圓圈不必位於大圓圈內。事實上，它們也可能與外界相切。在這種情況下，應做出以下改變：
凱西定理 凱西定理 凱西定理 凱西定理（1）如果都是從同一側切線（無論是在圓內還是在圓外），是外部公切線的長度；
凱西定理 凱西定理（2）如果從不同的側面切線，是內部公切線的長度。
凱西定理的放過來也成立，即，如果等式成立，則圓圈與公共圓相切。
