冪級數解法

冪級數解法是求解常微分方程的一種方法，特別是當微分方程的解不能用初等函式或或其積分式表達時，就要尋求其他求解方法，尤其是近似求解方法，冪級數解法就是常用的近似求解方法。用冪級數解法和廣義冪級數解法可以解出許多數學物理中重要的常微分方程，例如: 貝塞爾方程、勒讓德方程。

一階微分方程的冪級數求解

基本方法

求

冪級數解法

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滿足初始條件 的特解，其中

冪級數解法

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我們假設所求的特解可展開成 的冪級數：

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其中， 是待定係數，把上式代入 中便得一恆等式，比較所得恆等式兩端的同次冪的係數，就可定出常數 ，以這些常數為係數的級數在其收斂區間內就是方程 滿足初始條件 的特解。

例題解析

冪級數解法

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例1 求方程 滿足 的特解。

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解 由於 ，故設特解為

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把 的冪級數展開式代入原方程，得

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比較x同次冪係數，得

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故所求解的冪級數展開式的前幾項為

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二階齊次線性方程的冪級數解法

定理

冪級數解法

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若方程 中的係數P(x)與Q(x)可在 內展開為x的冪級數，則原方程必有如下冪級數解

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求解方法

冪級數解法

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設解為，將P(x)，Q(x)，f(x)展開為的冪級數，比較恆等式兩端x的同次冪係數，確定x。