兩平方數之和

兩平方數之和

兩平方數之和(sum of two squares)與華林問題有關的一個數論問題。若對自然數n,存在整數x,y,使n=x+y,則稱n可表示為兩平方數之和。若在此基礎上,有gcd(x,y)=1,則稱n可本原地表示為兩平方數之和。對於n,若存在且僅存在一個自然數x,使x≤n/2且√(n-x)是整數,則稱n可唯一地表示為兩平方數之和。

相關結論

關於兩平方數之和定理有以下結論:

1.若n≡3(mod 4),則n不能表示為兩平方數之和。

2.若n可表示為兩平方數之和,則對任一整數k,k n亦可表示為兩平方數之和。

3.n不能表示為兩平方數之和的充分必要條件是n的標準分解式中至少有一個素因數與3同餘(mod 4)且它的次數為奇數。

4.若p,q均可表示為兩平方數之和,則其乘積pq亦可表示為兩平方數之和。

5.任意素數x,若滿足x≡1(mod 4),則可唯一地表示為兩平方數之和。

6.若n能表示為兩平方數之和,則n +1的每一個因數都能表示為兩個平方數的和。

7.設p是m的一個奇素因數,p能表示為兩平方數之和,若m能本原地表示成兩平方數之和,則m/p也能本原地表示為兩個平方數的和。

研究歷史

兩平方數之和 兩平方數之和

把一個自然數表示為兩平方數之和是數論中的一個古老問題。遠在公元3世紀末期,丟番圖(Dio-phantus)通過研究畢達哥拉斯三元數組後,已經知道如何把某些自然數表為二平方數之和,也知道形如4m+3的自然數不能表成二平方數之和。丟番圖將這些研究寫人了他早已失傳的《衍論》中,這些內容可從後人對該書的評註中見到.丟番圖的研究停留在算術階段,缺乏數論的特色。1640年12月25日,費馬(Fermat,P. de)給梅森(Mersenne, M.)的信中最先提出了形如4n+1的素數可以表成兩個平方數的和。1754年,歐拉(Eider, L.)首次證明了它,還證明了表達式的惟一性。

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