介紹
保號性
保號性 保號性 保號性函式 在一定點集 上有定義，且函式值恆正（或恆負），則稱函式 在一定點集 上具有保號性。
有界區域
函式有非零極限點去心鄰域內的局部保號性
保號性
保號性
保號性
保號性定理 若函式 在 點的某個去心鄰域內 有定義，且 ，
保號性
保號性
保號性
保號性
保號性 保號性（1）若 （或 ），則存在某個去心鄰域 ，對該去心鄰域內一切 恆有 （或 ）。
保號性 保號性 保號性 保號性
保號性
保號性（2）存在某個去心鄰域 ，對該去心鄰域內一切 恆有 （或 ）。則 （或 ）
保號性證明（1）由於 ，根據極限定義，
保號性
保號性 保號性
保號性對於取定正數 ，總存在 ，當 時，有 ，
保號性 保號性 保號性即 ，該去心鄰域內一切 恆有 。
（2）是 （1）的逆否命題，用反證法可得證明。
函式連續點鄰域內的局部保號性
保號性 保號性 保號性 保號性 保號性
保號性 保號性
保號性 保號性 保號性 保號性若函式 在 點的某個去心鄰域內 有定義， 在 點連續，且 （或 ），則存在某個（實心）鄰域 ，對該去心鄰域內一切 恆有 （或 ）。
保號性
保號性 保號性 保號性 保號性證明 不妨設 ，根據連續定義，有 ，根據極限的局部保號性，知存在某個去心鄰域 ，對該去心鄰域內一切 恆有 。
保號性 保號性 保號性 保號性由於該鄰域中心 點已有 ，該去心鄰域對應的實心鄰域內一切 恆有 。
無窮遠處
保號性
保號性
保號性
保號性
保號性
保號性 保號性若函式 在（ ）上有定義， 【或 】，則必存在 ，當 時， 。
保號性結論1的證明對於 的情況 ，根據極限定義，
保號性 保號性 保號性 保號性
保號性對於取定正數 ，總存在 ，當 時，有 ，即 。
保號性
保號性 保號性 保號性
保號性對於 的情況，根據極限定義，對於任意取定的正數 ，必存在 ，當 時， 。
保號性
保號性
保號性對於 ，以及 【或 】的情況，都成立類似結論：
局部保序性
保號性
保號性局部保序性是函式極限的重要性質之一，它是局部保號性的一個推廣。以下只就 的情況作敘述， 時的情況完全類似，不再贅述。
保號性
保號性
保號性
保號性
保號性定理 設 ， ，若 ，則存在 點的某個去心鄰域，在此鄰域內恆有 。
保號性 保號性 保號性
保號性
保號性設 ， ，若存在 點的某個去心鄰域，在此鄰域內恆有 。則 。
保號性這個定理可以直接證明，也可以作了輔助函式 後利用局部保號性來證明。
數列的保號性
保號性若 ,
保號性
保號性
保號性
保號性
保號性（1）若 ，那么存在正整數 ，當 時，有 。【 注：若 也有類似結論】
保號性 保號性
保號性 保號性（2）若存在正整數 ，當 時，有 ，則 。
