起源
自然常數它的其中一個定義是，其數值約為（小數點後100位）：“e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274”。
第一次提到常數e，是約翰·納皮爾(JohnNapier)於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德(WilliamOughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各·伯努利(JacobBernoulli)。
已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然以後也有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標準。E=.14
用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數”(exponential)一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而e是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當地肯定他人的工作。
很多增長或衰減過程都可以用指數函式模擬。指數函式的重要方面在於它是唯一的函式與其導數相等（乘以常數）。e是無理數和超越數（見林德曼—魏爾施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。這是第一個獲證的超越數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特(CharlesHermite)於1873年證明。
公式
超越數主要只有自然常數(e)和圓周率(π)。自然常數的知名度比圓周率低很多，原因是圓周率更容易在實際生活中遇到，而自然常數在日常生活中不常用。
融合e，π的最完美的歐拉公式e^(iπ)+1=0，也是超越數e的數學價值的最高體現。
自然常數一般為公式中乘方的底數和對數的底。為什麼會這樣，主要取決於它的來歷。
自然常數的來法比圓周率簡單多了。
同時，它也等於1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。注意，0!=1。
自然常數經常在公式中做對數的底。比如，對指數函式和對數函式求導時，就要使用自然常數。函式y=f(x)=a^x的導數為f'(x)=a^x*ln(a)。函式y=f(x)=loga(x)的導數為f'(x)=loga(e)/x。
自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有a/ln(a)個。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確。這個定理叫素數定理，由高斯發現。
此外自然常數還有別的用處。比如解題。請把100分成若干份，使每份的乘積儘可能大。把這個題意分析一下，就是求兩個數a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（說明，a可以為任意有理數，b必須為整數。）此時，便要用到自然常數。這需要使a儘量接近e。則b應為100/e≈36.788份，但由於份數要為整數，所以取近似值37份。這樣，每份為100/37，所以a的b次方的最大值約為“94740617+167818+32.652”。
e是極為常用的超越數之一，它通常用作自然對數的底數。
收斂性證明
由均值不等式，有
即序列單調上升；另一方面，我們嘗試證明。即要證，由均值不等式得
又明顯有，故成立，所以成立。
故單調上升有上界，即收斂。
指數的形式
φkρ=αe
其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過一定變換和複合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e。
e，作為數學常數，是自然對數函式的底數。有時稱它為歐拉數（Eulernumber），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰?納皮爾引進對數。它就像圓周率π和虛數單位i，e是數學中最重要的常數之一。
它的數值約是（小數點後99位）：e≈2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427
第一次提到常數e，是約翰?納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉?奧特雷德(WilliamOughtred)製作。第一次把e看為常數的是雅各?伯努利(JacobBernoulli).
已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然以後也有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標準。
用e表示的確實原因不明，但可能因為e是“指數”(exponential)一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而e是第一個可用字母。不過，歐拉選這個字母的原因，不太可能是因為這是他自己名字Euler的首字母，因為他是個很謙虛的人，總是恰當地肯定他人的工作。
很多增長或衰減過程都可以用指數函式模擬。指數函式的重要方面在於它是唯一的函式與其導數相等（乘以常數）。e是無理數和超越數（見林德曼—魏爾施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。這是第一個獲證為超越數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特(CharlesHermite)於1873年證明。
自然常數e數學意義
超越數主要只有自然常數和圓周率。自然常數的知名度比圓周率低很多，原因是圓周率更容易在實際生活中遇到，而自然常數在日常生活中不常用。
自然常數一般為公式中乘方的底數和對數的底。為什麼會這樣，主要取決於它的來歷。
自然常數的來法比圓周率簡單多了。它就是函式y=f(x)=(1+1/x)x，當x趨向無窮大時y的極限。
同時，它也等於1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。同時說明，0！也等於1。
自然常數經常在公式中做對數的底。比如，對指數函式和對數函式求導時，就要使用自然常數。函式y=f(x)=ax的導數為f'(x)=ax*ln(a)。函式y=f(x)=loga(x)的導數為f'(x)=1/x*ln(10)。
自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有a/ln(a)個。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，則個定理會越來越精確。這個定理叫素數定理，由高斯發現。
此外自然常數還有別的用處。比如解題。請把100分成若干份，使每份的乘積儘可能大。把這個題意分析一下，就是求兩個數a和b，使ab=100，求ab的最大值。（說明，a可以為任意有理數，b必須為整數。）此時，便要用到自然常數。這需要使a儘量接近e。則b應為100/e≈36.788份，但由於份數要為整數，所以取近似值37份。這樣，每份為100/37，所以ab的最大值約為9474061716781832.652。
e是極為常用的超越數之一，它通常用作自然對數的底數。
（1）數列或函式f(n)=(1+1/n)^n即(1+1/n)的n次方的極限值
數列：1+1，（1+0.5）的平方，（1+0.33…）的立方，1.25^4，1.2^5，…
函式：實際上，這裡n的絕對值(即“模”)需要並只需要趨向無窮大。
（1=）sum(1/n!)，n取0至無窮大自然數。即1+1/1！+1/2！+1/3！+…
（2）幾個初級的相關公式：e^ix=cosx+i(sinx)，e^x=coshx+sinhx===sum((1/n!)x^n)，由此可以結合三角函式或雙曲三角函式的簡單性質推算出相對複雜的公式，如和角差角公式，等等，希望對朋友們學習和靈活套用它們有些幫助。
（3）用Windows7自帶的計算器計算：選單“查看／科學型“，再依次點擊1sinh+(1cosh)=或用鍵盤輸入1hs+(1ho)=或(1hs+(1ho))也可以從這裡用ctrl+C複製，再切換到計算器，按ctrl+V（選單“編輯/貼上”），得到它的32位數值：
e=2.7182818284590452353602874713526（第31位小數四捨五入為7）
e的某些神奇性質
（1）反比例函式y=1/x中，x+1至x=2上的投影的面積為e。
（2）y=e^x是一種導數與自身相等的函式。
（3）懸鏈線的函式表達式與e有關。其一般式為：y=(e^x+e^(-x))/2
（4）歐拉發現的一些著名公式。其中最著名的要屬公式4。
（5）質數個數的統計
長期以來，質數的分布規律困擾著人們。1792年，15歲的高斯獨立發現了比給定整數x小的質數分布規律。其規律如下：
若設函式f(x)是表示整數x及其以下所有整數中質數的個數的函式。當x趨於無窮大時，f(x)的值趨於ln(x)的值。（ln(x)是自然對數的值）這就為估算質數在某個區間內的個數提供了方便。
（6）一些函式的極值問題
表達式(1-1/n)^n在n趨於無窮大時有極值1/e。
函式y=x^(1/x)的最大值在x=e時得。
表達式x^(x^(x^(x^...)中x在e^(-e)到e^(1/e)之間時表達式有極值。
數值
自然常數e小數點後2000位
以下摘錄100位並分段以便有興趣的朋友記誦：
e=2.71828182845904523536
02874713526624977572
47093699959574966967
62772407663035354759
45713821785251664274…
這是小數點後面兩千位：
e=:2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139
