人物簡介
祖沖之雕像祖沖之（公元429-公元500），他是我國傑出的數學家、天文學家。南北朝時齊國人，漢族，字文遠，祖籍范陽遒人（今河北淶水縣），祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南。祖昌曾任劉宋的“大匠卿”（古代一種官），掌管土木工程，祖沖之的父親也在朝中做官。
祖沖之從小接受家傳的科學知識，青年時進入華林學省，從事學術活動。一生先後任過南徐州（今鎮江市）從事史、公府參軍、婁縣（今崑山市東北）令、謁者僕射、長水校尉等官職。
生平經歷
祖沖之公元420年東晉滅亡到589年，隋朝統一全國後的一百七十年中間，中國歷史上形成了南北對立的局面，這一時期稱作南北朝。南朝從公元420年東晉大將劉裕奪取帝位，建立宋政權開始，經歷了宋、齊、梁、陳四個朝代。同南朝對峙的是北朝，北朝經歷了北魏、東魏、西魏，北齊、北周等朝代。祖沖之是南朝人，出生在宋，死的時候已是南齊時期了。
當時由於南朝社會比較安定，農業和手工業都有顯著的進步，經濟和文化得到了迅速發展，從而也推動了科學的前進。因此，在這一段時期內，南朝出現了一些很有成就的科學家，祖沖之就是其中最傑出的人物之一。
家世背景
祖沖之的原籍是范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。在西晉末年，祖家由於故鄉遭到戰爭的破壞，遷到江南居住。祖沖之的祖父祖昌，曾在宋朝政府里擔任過大匠卿，負責主持建築工程，是掌握了一些科學技術知識的；同時，祖家歷代對於天文曆法都很有研究。因此祖沖之從小就有接觸科學技術的機會。
祖沖之從小就受到很好的親職教育。爺爺給他講“斗轉星移”，父親領他讀經書典籍，家庭的薰陶，耳濡目染，加之自己的勤奮，使他對自然科學和文學、哲學，特別是天文學產生了濃厚的興趣，特別是對天文、數學和機械製造，更有強烈的愛好和深入的鑽研，在青年時代就有了博學的名聲。
早年經歷
早在青年時期，他就有了博學多才的名聲，並且被政府派到當時的一個學術研究機關——華林學省，去做研究工作。後來他又擔任過地方官職。公元461年，他任南徐州（今江蘇鎮江）刺史府里的從事。464年，宋朝政府調他到婁縣（今江蘇崑山縣東北）作縣令。
祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續堅持學術研究，並且取得了很大的成就。他研究學術的態度非常嚴謹。他十分重視古人研究的成果，但又決不迷信，完全聽從於古人。用他自己的話來說，就是：決不“虛推（盲目崇拜）古人”，而要“搜煉古今（從大量的古今著作中吸取精華）”。一方面他對於古代科學家劉歆〔xin欣〕、張衡、闞[kan看]澤、劉徽、劉洪等人的著述都作了深入的研究，充分吸取其中一切有用的東西。另一方面，他又敢於大膽懷疑前人在科學研究方面的結論，並通過實際觀察和研究，加以修正補充，從而取得許多極有價值的科學成果。在天文曆法方面，他所編制的《大明曆》，是當時最精密的曆法。在數學方面，他推算出準確到七位小數的圓周率，取得了當時世界上最優秀的成績。
潛心學習
461年（南朝宋大明五年），祖沖之擔任南徐州（今江蘇鎮江）刺史府里的從事，先後任南徐州從事吏、公府參軍。祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續堅持學術研究，並且取得了很大的成就。
462年（南朝宋大明六年），祖沖之把精心編成的《大明曆》送給宋孝武帝請求公布實行，宋孝武帝命令懂得曆法的官員對這部曆法的優劣進行討論，最終，宋孝武帝決定在大明九年（465年）改行新曆。
464年（南朝宋大明六年），祖沖之被調到婁縣（今江蘇崑山縣東北）作縣令。之後又到建康（今江蘇南京），擔任謁者僕射的官職。從這時起，一直到南朝齊初年，他花了較大的精力來研究機械製造，重造出了用銅製機件傳動的指南車，發明了一天能走百里的“千里船”和“木牛流馬”、水碓磨（利用水力加工糧食的工具），還設計製造過漏壺（古代計時器）和巧妙的欹器。
晚年生活
當祖沖之晚年的時候，齊朝統治集團發生了內亂，政治腐敗黑暗，人民生活非常痛苦。北朝的魏乘機發大兵向南進攻。
從公元494年到500年間，江南一帶又陷入戰火。對於這種內憂外患重重逼迫的政治局面，祖沖之非常關心。大約在公元494年到498年之間，他擔任長水校尉的官職。當時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發展農業，增強國力，安定民生，鞏固錢。齊明帝看到了這篇文章，打算派祖沖之巡行四方，興辦一些有利於國計民生的事業。但是由於連年戰爭，他的建議始終沒有能夠實現。過不多久，這位卓越的大科學家活到七十二歲，就在公元500年的時候去世了。
主要成就
祖沖之主要貢獻在數學、天文曆法和機械三方面。此外歷史記載祖沖之精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。祖沖之著述很多，但大多都已失傳。
他寫的《綴術》一書，被收入著名的《算經十書》中，作為唐代國子監算學課本，可惜後來失傳了。《隋書·律曆志》留下一小段關於圓周率（π）的記載，祖沖之算出π的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當於精確到小數第7位，簡化成3.1415926，成為當時世界上最先進的成就。祖沖之入選世界紀錄協會世界第一位將圓周率值計算到小數第7位的科學家，創造了中國紀協世界之最。這一紀錄直到15世紀才由阿拉伯數學家卡西打破。
祖沖之還給出π的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數第7位，在西方直到16世紀才由荷蘭數學家奧托重新發現。祖沖之還和兒子祖暅一起圓滿地利用「牟合方蓋」解決了球體積的計算問題，得到正確的球體積公式。
天文曆法
祖沖之創製了《大明曆》，最早將歲差引進曆法；採用了391年加144個閏月的新閏周；首次精密測出交點月日數（27.21223），回歸年日數（365.2428）等數據，還發明了用圭表測量冬至前後若干天的正午太陽影長以定冬至時刻的方法。
祖沖之在天文曆法方面的成就，大都包含在他所編制的《大明曆》及為大明歷所寫的駁議中。
在祖沖之之前，人們使用的曆法是天文學家何承天編制的《元嘉歷》。祖沖之經過多年的觀測和推算，發現《元嘉歷》存在很大的差誤。於是祖沖之著手制定新的曆法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他編製成了《大明曆》。大明曆在祖沖之生前始終沒能採用，直到梁武帝天監九年（公元510年）才正式頒布施行。《大明曆》的主要成就如下：區分了回歸年和恆星年，首次把歲差引進曆法，測得歲差為45年11月差一度（今測約為70.7年差一度）。歲差的引入是中國曆法史上的重大進步。定一個回歸年為365.24281481日（今測為365.24219878日），直到南宋寧宗慶元五年（公元1199年）楊忠輔制統天曆以前，它一直是最精確的數據。
採用391年置144閏的新閏周，比以往曆法採用的19年置7閏的閏周更加精密。定交點月日數為27.21223日（今測為27.21222日）。交點月日數的精確測得使得準確的日月食預報成為可能，祖沖之曾用大明曆推算了從元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年間發生的4次月食時間，結果與實際完全符合。得出木星每84年超辰一次的結論，即定木星公轉周期為11.858年（今測為11.862年）。給出了更精確的五星會合周期，其中水星和木星的會合周期也接近現代的數值。提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至時刻的方法。
機械製造
他設計製造過水碓磨、銅製機件傳動的指南車、千里船、定時器等等。此外，他在音律、文學、考據方面也有造詣，他精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。是歷史上少有的博學多才的人物。
為紀念這位偉大的古代科學家，人們將月球背面的一座環形山命名為“祖沖之環形山”，把小行星1888命名為“祖沖之小行星”。
完善曆法
在古代，我國曆法家一向把十九年定為計算閏年的單位，稱為“一章”，在每一章里有七個閏年。也就是說，在十九個年頭中，要有七個年頭是十三個月。這種閏法一直採用了一千多年，祖沖之畫像(15張)夠周密、精確。公元412年，北涼趙厞創作《元始歷》，才打破了歲章的限制，規定在六百年中間插入二百二十一個閏月。可惜趙厞的改革沒有引起當時人的注意，例如著名歷算家何承天在公元443年製作《元嘉歷》時，還是採用十九年七閏的古法。
祖沖之吸取了趙厞的先進理論，加上他自己的觀察，認為十九年七閏的閏數過多，每二百年就要差一天，而趙厞六百年二百二十一闖的閏數卻又嫌稍稀，也不十分精密。因此，他提出了三百九十一年內一百四十四閏的新閏法。這個閏法在當時算是最精密的了。
除了改革閏法以外，祖沖之在曆法研究上的另一重大成就，是破天荒第一次套用了“歲差。”
根據物理學原理，剛體在鏇轉運動時，假如絲毫不受外力的影響，鏇轉的方向和速度應該是一致的；如果受了外力影響，它的鏇轉速度就要發生周期性的變化。地球就是一個表面凹凸不平、形狀不規則的剛體，在運行時常受其他星球吸引力的影響，因而鏇轉的速度總要發生一些周期性的變化，不可能是絕對均勻一致的。因此，每年太陽運行一周（實際上是地球繞太陽運行一周），不可能完全回到上一年的冬至點上，總要相差一個微小距離。按現代天文學家的精確計算，大約每年相差50.2秒，每七十一年八個月向後移一度。這種現象叫作歲差。
隨著天文學的逐漸發展，我國古代科學家們漸漸發現了歲差的現象。西漢的鄧平、東漢的劉歆、賈逵等人都曾觀測出冬至點後移的現象，不過他們都還沒有明確地指出歲差的存在。到東晉初年，天文學家虞喜才開始肯定歲差現象的存在，並且首先主張在曆法中引入歲差。他給歲差提出了第一個數據，算出冬至日每五十年退後一度。
天文著作
何承天認為歲差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉歷》中並沒有套用歲差。祖沖之繼承了前人的科學研究成果，不但證實了歲差現象的存在，算出歲差是每四十五年十一個月後退一度，而且在他製作的《大明曆》中套用了歲差。因為他所根據的天文史料都還是不夠準確的，所以他提出的數據自然也不可能十分準確。儘管如此，祖沖之把歲差套用到曆法中，在天文曆法史上卻是一個創舉，為我國曆法的改進揭開了新的一頁。到了隋朝以後，歲差已為很多曆法家所重視了，像隋朝的《大業歷》、《皇極曆》中都套用了歲差。
祖沖之在曆法研究方面的第三個巨大貢獻，就是能夠求出曆法中通常稱為“交點月”的日數。
所謂交點月，就是月亮連續兩次經過“黃道”和“白道”的交叉點，前後相隔的時間。黃道是指我們在地球上的人看到的太陽運行的軌道，白道是我們在地球上的人看到的月亮運行的軌道。交點月的日數是可以推算得出來的。祖沖之測得的交點月的日數是27.21223日，比過去天文學家測得的要精密得多，同近代天文學家所測得的交點月的日數27.21222日已極為近似。在當時天文學的水平下，祖沖之能得到這樣精密的數字，成績實在驚人。
由於日蝕和月蝕都是在黃道和白道交點的附近發生，所以推算出交點月的日數以後，就更能準確地推算出日蝕或月蝕發生的時間。祖沖之在他制訂的《大明曆》中，套用交點月推算出來的日、月蝕時間比過去準確，和實際出現日、月蝕的時間都很接近。
祖沖之根據上述的研究成果，終於成功製成了當時最科學、最進步的曆法——《大明曆》。這是祖沖之科學研究的天才結晶，也是他在天文曆法上最卓越的貢獻。
此外，祖沖之對木、水、火、金、土等五大行星在天空運行的軌道和運行一周所需的時間，也進行了觀測和推算。我國古代科學家算出木星（古代稱為歲星）每十二年運轉一周。西漢劉歆作《三統曆》時，發現木星運轉一周不足十二年。祖沖之更進一步，算出木星運轉一周的時間為11．858年。現代科學家推算木星運行的周期約為11.862年。祖沖之算得的結果，同這個數字僅僅相差0.04年。此外，祖沖之算出水星運轉一周的時間為115.88日，這同近代天文學家測定的數字在兩位小數以內完全一致。他算出金星運轉一周的時間為583.93日，同現代科學家測定的數字僅差0.01日。
公元462年（宋大明六年），祖沖之把精心編成的《大明曆》送給政府，請求公布實行。宋孝武帝命令懂得曆法的官員對這部曆法的優劣進行討論。在討論過程中，祖沖之遭到了以戴法興為代表的守舊勢力的反對。戴法興是宋孝武帝的親信大臣，很有權勢。由於他帶頭反對新曆，朝廷大小官員也隨聲附和，大家不贊成改變曆法。
祖沖之為了堅持自己的正確主張，理直氣壯地同戴法興展開了一場激烈的辯論。
這一場關於新曆法優劣的辯論，實際上反映了當時科學和反科學、進步和保守兩種勢力的尖銳鬥爭。戴法興首先上書皇帝，從古書中抬出古聖先賢的招牌來壓制祖沖之。他說，冬至時的太陽總在一定的位置上，這是古聖先賢測定的，是萬世不能改變的。他說，祖沖之以為冬至點每年有稍微移動，是誣衊了天，違背了聖人的經典。是一種大逆不道的行為。他又把當時通行的十九年七閏的曆法，也說是古聖先賢所制定，永遠不能更改。他甚至罵祖沖之是淺陋的凡夫俗子，沒有資格談改革曆法。
祖沖之對權貴勢力的攻擊絲毫沒有懼色。他寫了一篇有名的駁議。他根據古代的文獻記載和當時觀測太陽的記錄，證明冬至點是有變動的。他指出：事實十分明白，怎么可以信古而疑今。他又詳細地舉出多年來親自觀測冬至前後各天正午日影長短的變化，精確地推算出冬至的日期和時刻，從此說明十九年七閏是很不精密的。他責問說：“舊的曆法不精確，難道還應當永遠用下去，永遠不許改革？誰要說《大明曆》不好，應當拿出確鑿的證據來。如果有證據，我願受過。”
當時戴法興指不出新曆到底有哪些缺點，於是就爭論到日行快慢、日影長短、月行快慢等等問題上去。祖沖之一項一項地據理力爭，都駁倒了他。
在祖沖之理直氣壯的駁斥下，戴法興沒話可以答辯了，竟蠻不講理地說：“新曆法再好也不能用。”祖沖之並沒有被戴法興這種蠻橫態度嚇倒，卻堅決地表示：“決不應該盲目迷信古人。既然發現了舊曆法的缺點，又確定了新曆法有許多優點，就應當改用新的。”
在這場大辯論中，許多大臣被祖沖之精闢透徹的理論說服了，但是他們因為畏懼戴法興的權勢，不敢替祖沖之說話。最後有一個叫巢尚之的大臣出來對祖沖之表示支持。他說《大明曆》是祖沖之多年研究的成果，根據《大明曆》來推算元嘉十三年（436）、十四年（437）、二十八年（451）、大明三年（459）的四次月蝕都很準確，用舊曆法推算的結果誤差就很大，《大明曆》既然由事實證明比較好，就應當採用。
這樣一來，戴法興只有啞口無言。祖沖之取得了最後勝利。宋孝武帝決定在大明九年（465）改行新曆。誰知大明八年孝武帝死了，接著統治集團內發生變亂，改歷這件事就被擱置起來。一直到梁朝天監九年（51O），新曆才被正式採用，可是那時祖沖之已去世十年了。
精算圓周率
1、祖沖之與圓周率紀念郵票
古書的記載只有《隋書·律曆志》中一段文字：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”也就是說，祖沖之給出了圓周率介於3.1415926和3.1415927之間這個答案，以及兩個π的近似數355/113和22/7。
求算圓周率的值是數學中一個非常重要也是非常困難的研究課題。中國古代許多數學家都致力於圓周率的計算，而公元5世紀祖沖之所取得的成就可以說是圓周率計算的一個躍進。祖沖之經過刻苦鑽研，繼承和發展了各位數學家、科學家前輩的優秀成果。祖沖之對於圓周率的研究，就是祖沖之對於我國乃至世界的一個突出貢獻。祖沖之對圓周率數值的精確推算值，用他的名字被命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。
如何正確地推求圓周率的數值，是世界數學史上的一個重要課題。我國古代數學家們對這個問題十分重視，研究也很早。在《周髀算經》和《九章算術》中就提出徑一周三的古率，定圓周率為三，即圓周長是直徑長的三倍。此後，經過歷代數學家的相繼探索，推算出的圓周率數值日益精確。
西漢末年劉歆在為王莽設計製作圓形銅斛（一種量器）的過程中，發現直徑為一、圓周為三的古率過於粗略，經過進一步的推算，求得圓周率的數值為3.1547。
東漢著名科學家張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時，數學家王蕃推算出的圓周率數值為3.155。魏晉之際的著名數學家劉徽在為《九章算術》作注時創立了新的推算圓周率的方法——割圓術。他設圓的半徑為1，把圓周六等分，作圓的內接正六邊形，用勾股定理求出這個內接正六邊形的周長；然後依次作內接十二邊形，二十四邊形……，至圓內接一百九十二邊形時，得出它的邊長和為6.282048，而圓內接正多邊形的邊數越多，它的邊長就越接近圓的實際周長，所以此時圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14；並且說明這個數值比圓周率實際數值要小一些。在割圓術中，劉徽已經認識到了現代數學中的極限概念。他所創立的割圓術，是探求圓周率數值的過程中的重大突破。後人為紀念劉徽的這一功績，把他求得的圓周率數值稱為“徽率”或稱“徽術”。
劉徽以後，探求圓周率有成就的學者，先後有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數值為3.1428；皮延宗求出圓周率值為22/7≈3.14。以上的科學家都為圓周率的研究推算做出了很大貢獻，可是和祖沖之的圓周率比較起來，就遜色多了。
祖沖之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但並未達到精確的程度，於是他進一步精益鑽研，去探求更精確的數值。
圓周率的套用很廣泛。尤其是在天文、曆法方面，凡牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。我國古代勞動人民在生產實踐中求得的最早的圓周率值是“3”，這當然很不精密，但一直被沿用到西漢。後來，隨著天文、數學等科學的發展，研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄“3”這個不精確的圓周率值，他曾經採用過的圓周率是3.1547。東漢的張衡也算出圓周率為π=3.1622。這些數值比起π=3當然有了很大的進步，但是還遠遠不夠精密。到了三國末年，數學家劉徽創造了用割圓術來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進展。
用割圓術來求圓周率的方法，大致是這樣：先作一個圓，再在圓內作一內接正六邊形。假設這圓的直徑是2，那么半徑就等於1。內接正六邊形的一邊一定等於半徑，所以也等於1；它的周長就等於6。如果把內接正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑2去除，得到周長與直徑的比π=6/2=3，這就是古代π=3的數值。但是這個數值是不正確的，我們可以清楚地看出內接正六邊形的周長遠遠小於圓周的周長。
2、圓周率符號
如果我們把內接正六邊形的邊數加倍，改為內接正十二邊形，再用適當方法求出它的周長，那么我們就可以看出，這個周長比內按正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內接正十二邊形的面積也更接近圓面積。從這裡就可以得到這樣一個結論：圓內所做的內接正多邊形的邊數越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講，如果內接正多邊形的邊數增加到無限多時，那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在一起，從此計算出來的內接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了。不過事實上，我們不可能把內接正多邊形的邊數增加到無限多，而使這無限正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內接正多邊形的邊數，使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內接正多邊形邊數的辦法求圓周率，得數永遠稍小於π的真實數值。劉徽就是根據這個道理，從圓內接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，一直計算到內接正九十六邊形
3、圓周率
為止，求得了圓周率是3.141024。把這個數化為分數，就是157/50。劉徽所求得的圓周率，後來被稱為“徽率”。他這種計算方法，實際上已具備了近代數學中的極限概念。這是我國古代關於圓周率的研究的一個光輝成就。祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據《隋書·律曆志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒數（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數之間。《隋書》只有這樣簡單的記載，沒有具體說明他是用什麼方法計算出來的。不過從當時的數學水平來看，除劉徽的割圓術外，還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是採用了這種方法。因為採用劉徽的方法，把圓的內接正多邊形的邊數增多到24576邊時，便恰好可以得出祖沖之所求得的結果。
盈朒兩數可以列成不等式，如：3.1415926（*）<π（真實的圓周率）<3.1415927（盈），這表明圓周率應在盈朒兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還採用了兩個分數值的圓周率。一個是355/113（約等於3.1415927），這一個數比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是了（約等於3.14），這一個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。在歐洲，直到1573年才由德國數學家渥脫求出了355/113這個數值。因此，日本數學家三上義夫曾建議把355/113這個圓周率數值稱為“祖率”，來紀念這位中國的大數學家。由於祖沖之所著的數學專著《綴術》已經失傳，《隋書》又沒有具體地記載他求圓周率的方法，因此，我國研究祖國數學遺產的專家們，對於他求圓周率的方法還有不同的見解。
祖沖之究竟是否同時用過內接和外切這兩個方法求出圓周率的朒數和盈數，是沒有確切史料可以證實的。但是採用這個辦法所求出的朒、盈兩個數值，和祖沖之原來所求出的結果大體是一致的，所以有些數學史家認為祖沖之曾用過作圓的外切正多邊形的方法求得圓周率，是很近情理的推想。
但是根據另一些數學史家的研究，盈、朒兩數也可以由計算圓內接正12288邊形和正24576邊形的邊長而得出來。不過這種計算比較難懂，這裡不說了。
儘管說法有出入，但是祖沖之曾經求得“密率”，並且明確地用上、下兩限來說明圓周率這個數值的範圍，是可以肯定的。在一千五百年前，他有這樣的成就和認識，真值得我們欽佩。
在推算圓周率時，祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動。如果從正六邊形算起，算到24576邊時，就要把同一運算程式反覆進行十二次，而且每一運算程式又包括加減乘除和開方等十多個步驟。我們用紙筆算盤來進行這樣的計算，也是極其吃力的。當時祖沖之進行這樣繁難的計算，只能用籌碼（小竹棍）來逐步推演。如果頭腦不是十分冷靜精細，沒有堅韌不拔的毅力，是絕對不會成功的。祖沖之頑強刻苦的研究精神，是很值得推崇的。祖沖之死後，他的兒子祖暅（gèng）繼續父親的研究，進一步發現了計算圓球體積的方法。
在我國古代數學著作《九章算術》中，曾列有計算圓球體積的公式，但很不精確。劉徽雖然曾經指出過它的錯誤，但究竟應當怎樣計算，他也沒有求得解決。經祖暅刻苦鑽研，終於找到了正確的計算方法。他所推算出的計算圓球體積的公式是：圓球體積=π/cD（D代表球體直徑）。這個公式一直到今天還被人們採用著。
製造機械
指南車是一種用來指示方向的車子。車中裝有機械，車上裝有木人。車子開行之前，先把木人的手指向南方，不論車子怎樣轉彎，木人的手始終指向南方不變。這種車子結構已經失傳，但是根據文獻記載，可以知道它是利用齒輪互相帶動的結構製成的。相傳遠古時代黃帝對蚩尤作戰，曾經使用過指南車來辨別方向，但這不過是一種傳說。根據歷史文獻記載，三國時代的發明家馬鈞曾經製造過這種指南車，可惜後來失傳了。公元417年東晉大將劉裕（也就是後來宋朝的開國皇帝）進軍至長安時，
指南車
曾獲得後秦統治者姚興的一輛舊指南車，車子裡面的機械已經散失，車子行走時，只能由人來轉動木人的手，使它指向南方。後來齊高帝蕭道成就令祖沖之仿製。祖沖之所制指南車的內部機件全是銅的。製成後，蕭道成就派大臣王僧虔、劉休兩人去試驗，結果證明它的構造精巧，運轉靈活，無論怎樣轉彎，木人的手常常指向南方。
當祖沖之製成指南車的時候，北朝有一個名叫索馭驎的來到南朝，自稱也會製造指南車。於是蕭道成也讓他製成一輛，在皇宮裡的樂游苑和祖沖之所製造的指南車比賽。結果祖沖之所制的指南車運轉自如，索馭驎所制的卻很不靈活。索馭驎只得認輸，並把自己制的指南車毀掉了。
祖沖之也製造了很有用的勞動工具。他看到勞動人民舂米、磨粉很費力，就創造了一種糧食加工工具，叫作水碓磨。古代勞動人民很早就發明了利用水力著米的水礁和磨粉的水磨。西晉初年，杜預曾經加以改進，發明了“連機碓”和“水轉連磨”。一個連機碓能帶動好幾個石杵一起一落地舂米；一個水轉連磨能帶動八個磨同時磨粉。祖沖之又在這個基礎上進一步加以改進，把水碓和水磨結合起來，生產效率就更加提高了。這種加工工具，我國南方有些農村還在使用著。
祖沖之還設計製造過一種千里船。它可能是利用輪子激水前進的原理造成的，一天能行一百多里。
祖沖之還根據春秋時代文獻的記載，制了一個“欹器”，送給齊武帝的第二個兒子蕭子良。欹器是古人用來警誡自滿的器具。器內沒有水的時候，是側向一邊的。裡面盛水以後，如果水量適中，它就豎立起來；如果水滿了，它又會倒向一邊，把水潑出去。這種器具，晉朝的學者杜預曾試製三次，都沒有成功；祖沖之卻仿製成功了。由此可見，祖沖之對各種機械都有深刻的研究。
撰寫綴術
祖沖之還曾寫過《綴術》五卷，是一部內容極為精采的數學書，很受人們重視。唐朝的官辦學校的算學科中規定：學員要學《綴術》四年；政府舉行數學考試時，多從《綴術》中出題。《綴術》一書，匯集了祖沖之父子的數學研究成果。這本書內容深奧，以至“學官莫能究其深奧，故廢而不理”。《綴術》在唐代被收入《算經十書》，成為唐代國子監算學課本，當時學習《綴術》需要四年的時間，可見《綴術》的艱深。《綴術》曾經傳至朝鮮，但到北宋時這部書就已軼失，直到現在還有待考察。
祖沖之生平著作很多，內容也是多方面的。在數學方面，所著《綴術》一書，是著名的“算經十書”之一，被唐代國子監列為算學課本，規定學習四年，惜已失傳。在天文曆法方面，他編製成《大明曆》，並為大明曆寫了“駁議”。在古代典籍的注釋方面，祖沖之有《易義》、《老子義》、《莊子義》、《釋論語》、《釋孝經》等著作，但亦皆失傳。文學作品方面他著有《述異記》，在《太平御覽》等書中可以看到這部著作的片斷。
祖沖之的成就不僅限於自然科學方面，他還精通樂理．對於音律很有研究。祖沖之又著有《易義》《老子義》《莊子義》《釋論語》等關於哲學的書籍，都已經失傳了。
人物評價
祖沖之雕像數學家祖沖之在天文、曆法、數學以及機械製造等方面的輝煌成就，充分表現了我國古代科學的高度發展水平。
祖沖之，之所以能夠取得這樣輝煌的成就，並不是偶然的。首先，當時社會生產正在逐步發展，需要有一定的科學成就來配合前進，因而就推動了科學的進步，祖沖之就在這時候取得了天文、數學和器械製造等方面的成績。其次，從上古到這時候，在千百年的長時期中，已積累了不少科學成果，祖沖之就在前人創造的基礎上做出了他的成績。至於祖沖之個人的認真學習，刻苦鑽研，不迷信古人，不畏懼守舊勢力，不怕鬥爭，不避艱難，自然也都是取得傑出成就的重要原因。
祖沖之不僅是我國歷史上傑出的科學家，而且在世界科學發展史上也有崇高的地位。祖沖之創造“密率”，是世界聞名的。我們應該紀念像祖沖之這樣的科學家，珍視他們的寶貴遺產。
史書記載
南齊書記載（卷五十二列傳第三十三◎文學）
南史記載（卷七十二列傳第六十二）
祖沖之字文遠，是范陽遒人。曾祖台之，晉侍中。祖昌，宋大匠卿。父朔之，奉朝請。
沖之稽古，有機思，宋孝武使直華林學省，賜宅宇車服。解褐南徐州從事、公府參軍。
始元嘉中，用何承天所制歷，比古十一家為密。沖之以為尚疏，乃更造新法，上表言之。孝武令朝士善歷者難之，不能屈。會帝崩不施行。
歷位為婁縣令，謁者僕射。初，宋武平關中，得姚興指南車，有外形而無機杼，每行，使人於內轉之。升明中，齊高帝輔政，使沖之追修古法。沖之改造銅機，圓轉不窮，而司方如一，馬鈞以來未之有也。時有北人索馭驎者亦云能造指南車，高帝使與沖之各造，使于樂游苑對共校試，而頗有差僻，乃毀而焚之。晉時杜預有巧思，造欹器，三改不成。永明中，竟陵王子良好古，沖之造欹器獻之，與周廟不異。文惠太子在東宮，見沖之曆法，啟武帝施行。文惠尋薨又寢。
轉長水校尉，領本職。沖之造安邊論，欲開屯田，廣農殖。建武中，明帝欲使沖之巡行四方，興造大業，可以利百姓者，會連有軍事，事竟不行。
沖之解鍾律博塞，當時獨絕，莫能對者。以諸葛亮有木牛流馬，乃造一器，不因風水，施機自運，不勞人力。又造千里船，於新亭江試之，日行百餘里。于樂游苑造水碓磨，武帝親自臨視。又特善算。永元二年卒，年七十二。著易老莊義，釋論語、孝經，注九章，造綴述數十篇。子暅之。
暅之字景爍，少傳家業，究極精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕無以過也。當其詣微之時，雷霆不能入。嘗行遇僕射徐勉，以頭觸之，勉呼乃悟。父所改何承天曆時尚未行，梁天監初，暅之更修之，於是始行焉。位至太舟卿。
暅之子皓，志節慷慨，有文武才略。少傳家業，善算曆。大同中為江都令，後拜廣陵太守。
侯景陷台城，皓在城中，將見害，乃逃歸江西。百姓感其遺惠，每相蔽匿。廣陵人來嶷乃說皓曰：“逆豎滔天，王室如毀，正是義夫發憤之秋，志士忘軀之日。府君荷恩重世，又不為賊所容。今逃竄草間，知者非一，危亡之甚，累棋非喻。董紹先雖景之心腹，輕而無謀，新克此州，人情不附，襲而殺之，此一壯士之任耳。今若糾率義勇，立可得三二百人。意欲奉戴府君，剿除凶逆，遠近義徒，自當投赴。如其克捷，可立桓、文之勛；必天未悔禍，事生理外，百代之下，猶為梁室忠臣。若何？”皓曰：“仆所願也，死且甘心。”為要勇士耿光等百餘人襲殺景兗州刺史董紹先，推前太子舍人蕭勉為刺史，結東魏為援。馳檄遠近，將討景。景大懼，即日率侯子鑒等攻之。城陷，皓見執，被縛射之，箭遍體，然後車裂以徇。城中無少長，皆埋而射之。
方誌記載
祖沖之（429－500），字文遠。南京人。南北朝時期南朝著名科學家。博學多才，尤其對天文，數學有相當高的造詣。他在世界數學史上第一次將圓周π率的值推算到小數點後七位，即3.1415926至3.1415927之間，並提出π的約率22/7和密率355/113，這一密率值是世界上最早提出的，比歐洲早1000多年。他將其匯集成一部著作，名為《綴術》，唐朝國學曾將此書定為數學課本。在天文學方面，他編制的《大明曆》，第一次將“歲差”引進曆法。提出在391年中設定144個閏月。推算出一回歸年的長度為365.2428148日，誤差只有50秒左右。他還是一位傑出的機械專家。重新製造出早已失傳的指南車、水碓磨、千里船等。此外，他對音樂、文學也有研究。著作有《釋論語》、《釋孝經》、《易義》、《老子義》、及小說《述異記》等，均已散失。
子承父業
祖沖之的兒子祖暅，也是一位傑出的數學家，他繼承他父親的研究，創立了球體體積的正確算法。在天文方面，他也能繼承父業。他曾著《天文錄》三十卷，《天文錄經要訣》一卷，可惜這些書都失傳了。祖沖之制定的《大明曆》，梁武帝天監初年，祖暅又重新加以修訂，才被正式採用的。他還製造過記時用的漏壺造得很準確，並且作過一部《漏刻經》。
祖沖之、祖暅、祖皓，是祖孫三代，都是數學家。
祖暅原理
祖沖之還與他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算。他們當時採用的一條原理是：“冪勢既同，則積不容異。”意即：位於兩平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恆相等，則這兩個立體的體積相等。在西方被稱為“卡瓦列利原理”，但這是在祖沖之以後一千多年才由義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）發現的。
為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，數學上也稱這一原理為“祖暅原理”。祖暅原理也就是“等積原理”。它是由我國南北朝傑出的數學家、祖沖之的兒子祖暅首先提出來的。
祖暅軼事
祖沖之的兒子祖暅也是中國古代著名數學家。小時習學家傳的學業，深入研究的十分精細，也有靈巧的心思。技藝達到神妙的境地。當他思考到深入之處時，雷霆之聲也難以入耳。曾經在走路時遇到僕射徐勉，頭竟撞到了徐勉身上，徐勉呼叫他才覺察到他的存在。
後世紀念
祖沖之紀念幣沖之星：
1964年11月9日為了紀念祖沖之對我國和世界科學文化作出的偉大貢獻，紫金山天文台將1964年發現的，國際永久編號為1888的小行星命名為“祖沖之星”。
紀念幣
此紀念幣發行年代為1986，面值為5元，成色為90，發行量為30000枚。
紀念幣正面為國徽，背面為祖沖之，規格為直徑36毫米，重量為22克，由上海造幣廠製造。
邀請賽
為了紀念我國著名數學家祖沖之(429年-500年)的卓越貢獻，我國部分數學教育工作者與88年初舉行集會是倡導舉辦以“祖沖之杯”命名的數學競賽，以作為各地參加全國競賽前的選拔賽，此舉立即得到了各地的熱烈回響，在各地教育、出版等部門及學術團體的贊助與支持下，1988年11月27日舉辦了第一節《祖沖之杯》國中數學邀請賽。以後將每年一屆，如期舉行。每年的競賽時間確定在當年的11月份的最後一個星期天。
星座名人之金牛座
| 在占星學上，黃道十二星座是宇宙方位的代名詞。黃道十二星座代表了１２種基本性格原型，一個人出生時，各星體落入黃道上的位置，正是說明著一個人的先天性格及天賦。黃道十二星座象徵心理層面，反映出一個人行為的表現的方式。 |
