模運算

模運算

模運算即求余運算。“模”是“Mod”的音譯,模運算多套用於程式編寫中。 Mod的含義為求余。模運算在數論和程式設計中都有著廣泛的套用,從奇偶數的判別到素數的判別,從模冪運算到最大公約數的求法,從孫子問題到凱撒密碼問題,無不充斥著模運算的身影。雖然很多數論教材上對模運算都有一定的介紹,但多數都是以純理論為主,對於模運算在程式設計中的套用涉及不多。

舉例

11 Mod 2,值為1

上述模運算多用於程式編寫,舉一例來說明模運算的原理:

Turbo Pascal對mod的解釋是這樣的:

A Mod B=A-(AdivB) * B (div含義為整除)

概念及性質

本文以c++語言為載體,對基本的模運算套用進行了分析和程式設計,以理論和實際相結合的方法向大家介紹模運算的基本套用。

基本概念

模運算模運算

給定一個正整數

,任意一個整數

,一定存在等式

模運算模運算

其中

是整數,且

,稱

除以

的商,

除以

的餘數。

模運算模運算

對於正整數和整數

,

,定義如下運算:

取模運算:a % p(或a mod p),表示a除以p的餘數。

模p加法:(a + b) % p ,其結果是a+b算術和除以p的餘數,也就是說,(a+b) = kp +r,則(a + b) % p = r。

模p減法:(a-b) % p ,其結果是a-b算術差除以p的餘數。

模p乘法:(a * b) % p,其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。

說明:

1.同餘式:正整數a,b對p取模,它們的餘數相同,記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。

基本性質

(1)若p|(a-b),則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)

(2)(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

(3)對稱性:a≡b (% p)等價於b≡a (% p)

(4)傳遞性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,則a≡c (% p)

運算規則

模運算與基本四則運算有些相似,但是除法例外。其規則如下:

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p (4)

結合律:

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

((a*b) % p * c)% p = (a * b*c) % p (6)// (a%p*b)%p=(a*b)%p

交換律:

(a + b) % p = (b+a) % p (7)

(a * b) % p = (b * a) % p (8)

分配律:

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9)

重要定理:

若a≡b (% p),則對於任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)

若a≡b (% p),則對於任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)

若a≡b (% p),c≡d (% p),則 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),

(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)

基本套用

1.判別奇偶數

奇偶數的判別是模運算最基本的套用,也非常簡單。易知一個整數n對2取模,如果餘數為0,則表示n為偶數,否則n為奇數。

C++實現功能函式:

/*

函式名:IsEven

函式功能:判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數,否則為奇數

輸入值:int n,整數n

返回值:bool,若整數n是偶數,返回true,否則返回false

*/

bool IsEven(int n)

{

return (n % 2 == 0);

}

2.判別素數

一個數,如果只有1和它本身兩個因數,這樣的數叫做質數(或素數)。例如 2,3,5,7 是質數,而 4,6,8,9 則不是,後者稱為合成數或合數。

判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法:用比該自然數的平方根小的正整數去除這個自然數,若該自然數能被整除,則說明其非素數。

C++實現功能函式:

/*

函式名:IsPrime

函式功能:判別自然數n是否為素數。

輸入值:int n,自然數n

返回值:bool,若自然數n是素數,返回true,否則返回false

*/

bool IsPrime(unsigned int n)

{

unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子

for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)

{

if (n % i == 0) //n能被i整除,則說明n非素數

{

return false;

}

}

return true;

}

3. 最大公約數

求最大公約數最常見的方法是歐幾里德算法(又稱輾轉相除法),其計算原理依賴於定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

證明:a可以表示成a = kb + r,則r = a mod b

假設d是a,b的一個公約數,則有d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公約數

假設d 是(b,a mod b)的公約數,則d | b , d |r ,但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公約數

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的,其最大公約數也必然相等,得證。

C++實現功能函式:

/*

函式功能:利用歐幾里德算法,採用遞歸方式,求兩個自然數的最大公約數

函式名:Gcd

輸入值:unsigned int a,自然數a

unsigned int b,自然數b

返回值:unsigned int,兩個自然數的最大公約數

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

if (b == 0)

return a;

return Gcd(b, a % b);

}

/*

函式功能:利用歐幾里德算法,採用疊代方式,求兩個自然數的最大公約數 函式名:Gcd

輸入值:unsigned int a,自然數a

unsigned int b,自然數b

返回值:unsigned int,兩個自然數的最大公約數

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

unsigned int temp;

while (b != 0)

{

temp = a % b;

a = b;

b = temp;

}

return a;

}

4.模冪運算

利用模運算的運算規則,我們可以使某些計算得到簡化。例如,我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來,那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555(%10),所以問題就簡化了。

根據運算規則(4)ab % p = ((a % p)b) % p ,我們知道3333^5555(%10)= 3^5555(%10)。由於3^4 = 81,所以3^4(%10)= 1。

根據運算規則(3) (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ,由於5555 = 4 * 1388 + 3,我們得到3^5555(%10)=(3^(4*1388) * 3^3)(%10)=((3^(4*1388)(%10)* 3^3(%10))(%10)

=(1 * 7)(%10)= 7。

計算完畢。

利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的算法是將result初始化為1,然後重複將result乘以X,每次乘法之後套用%運算符(這樣使得result的值變小,以免溢出),執行N次相乘後,result就是我們要找的答案。

這樣對於較小的N值來說,實現是合理的,但是當N的值很大時,需要計算很長時間,是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的算法。

如果N是偶數,那么X^N =(X*X)^[N/2];

如果N是奇數,那么X^N = X*X^(N-1) = X *(X*X)^[N/2];

其中[N]是指小於或等於N的最大整數。

C++實現功能函式:

/*

函式功能:利用模運算規則,採用遞歸方式,計算X^N(% P)

函式名:PowerMod

輸入值:unsigned int x,底數x

unsigned int n,指數n

unsigned int p,模p

返回值:unsigned int,X^N(% P)的結果

*/

unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)

{

if (n == 0)

{

return 1;

}

unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //遞歸計算(X*X)^[N/2]

if ((n & 1) != 0) //判斷n的奇偶性

{

temp = (temp * x) % p;

}

return temp;

}

5.《孫子問題(中國剩餘定理)》

在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題:

“今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?”意思是,“一個數除以3餘2,除以5餘3,除以7餘2.求適合這個條件的最小數。”

這個問題稱為“孫子問題”.關於孫子問題的一般解法,國際上稱為“中國剩餘定理”.

我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》(1593年)中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法:

三人同行七十稀,五樹梅花甘一枝,七子團圓正半月,除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是,當所得的數比105大時,就105、105地往下減,使之小於105;這相當於用105去除,求出餘數。

這四句口訣暗示的意思是:當除數分別是3、5、7時,用70乘以用3除的餘數,用21乘以用5除的餘數,用15乘以用7除的餘數,然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大,就除以105,所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。

根據剩餘定理,我把此種解法推廣到有n(n為自然數)個除數對應n個餘數,求最小被除數的情況。輸入n個除數(除數不能互相整除)和對應的餘數,計算機將輸出最小被除數。

C++實現功能函式:

/*

函式名:ResidueTheorem

函式功能:運用剩餘定理,解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數(除數不能互相整除)和對應的餘數,返回最小被除數

輸入值:unsigned int devisor[],存儲了n個除數的數組

unsigned int remainder[],存儲了n個餘數的數組

int length,數組的長度

返回值:unsigned int, 最小被除數

*/

unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)

{

unsigned int product = 1; //所有除數之乘積

for (int i=0; i

{

product *= devisor[i];

}

//公倍數數組,表示除該元素(除數)之外其他除數的公倍數

unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);

for (int i=0; i

{

commonMultiple[i] = product / devisor[i];

}

unsigned int dividend = 0; //被除數,就是函式要返回的值

for (int i=0; i

{

unsigned int tempMul = commonMultiple[i];

//按照剩餘理論計算合適的公倍數,使得tempMul % devisor[i] == 1

while (tempMul % devisor[i] != 1)

{

tempMul += commonMultiple[i];

}

dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除數得到的餘數乘以其他除數的公倍數

}

delete []commonMultiple;

return (dividend % product); //返回最小被除數

}

6. 凱撒密碼

凱撒密碼(caeser)是羅馬擴張時期朱利斯o凱撒(Julius Caesar)創造的,用於加密通過信使傳遞的作戰命令。

它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用,z的後面可以看成是a。

例如,當密匙為k = 3,即向後移動3位時,若明文為”How are you!”,則密文為”Krz duh btx!”。

凱撒密碼的加密算法極其簡單。其加密過程如下:

在這裡,我們做此約定:明文記為m,密文記為c,加密變換記為E(key1,m)(其中key1為密鑰),

解密變換記為D(key2,m)(key2為解密密鑰)(在這裡key1=key2,不妨記為key)。

凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換:c≡m+key (mod n) (其中n為基本字元個數)

同樣,解密過程可表示為:m≡c+key (mod n) (其中n為基本字元個數)

C++實現功能函式:

/*

函式功能:使用凱撒密碼原理,對明文進行加密,返回密文 函式名:Encrypt

輸入值:const char proclaimedInWriting[],存儲了明文的字元串

char cryptograph[],用來存儲密文的字元串

int keyey,加密密匙,正數表示後移,負數表示前移

返回值:無返回值,但是要將新的密文字元串返回

*/

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)

{

const int NUM = 26; //字母個數

int len = strlen(proclaimedInWriting);

for (int i=0; i

{

if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')

{//明碼是大寫字母,則密碼也為大寫字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';

}

else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')

{//明碼是小寫字母,則密碼也為小寫字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';

}

else

{//明碼不是字母,則密碼與明碼相同

cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];

}

}

cryptograph[len] = '\0';

}

/*

函式功能:使用凱撒密碼原理,對密文進行解密,返回明文 函式名:Decode

輸入值:char proclaimedInWriting[],用來存儲明文的字元串

const char cryptograph[],存儲了密文的字元串

int keyey,解密密匙,正數表示前移,負數表示後移(與加密相反)

返回值:無返回值,但是要將新的明文字元串返回

*/

void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)

{

const int NUM = 26; //字母個數

int len = strlen(cryptograph);

for (int i=0; i

{

if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')

{//密碼是大寫字母,則明碼也為大寫字母,為防止出現負數,轉換時要加個NUM

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';

}

else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')

{//密碼是小寫字母,則明碼也為小寫字母

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';

}

else

{//密碼不是字母,則明碼與明密相同

proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];

}

}

proclaimedInWriting[len] = '\0';

}

模運算及其簡單套用就先講到這了,其實模運算在數學及計算機領域的套用非常廣泛,我這這裡蒐集整理了一些最最基本的情形,希望能夠起到一個拋磚引玉的作用,讓更多的人關注模運算,並及其套用到更廣闊的領域中。

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