初涉
布爾素理想定理(Boolean prime ideal theorem)即保證在給定的抽象代數中特定類型之子集的存在性之數學定理。常見的例子就是布爾素理想定理，它聲稱在布爾代數中的理想可以被擴展成素理想。這個陳述對於在集合上的濾子的變體叫做叫做超濾子引理。通過考慮不同的帶有適當的理想概念的數學結構可獲得其他定理，例如環和(環論的)素理想，和分配格和(序理論的)的極大理想。本文關注序理論的素理想定理。
儘管各種素理想定理可能看起來簡單和直覺性的，它們一般不能從 Zermelo�Fraenkel 集合論(ZF)的公理推導出來。反而某些陳述等價於選擇公理(AC)，而其他的如布爾素理想定理，體現了嚴格弱於 AC 的性質。由於這個在 ZF 和 ZF+AC (ZFC) 之間的中介狀態，布爾素理想定理經常被接受為集合論的公理。經常用縮寫 BPI(對布爾代數)或 PIT 提及這個額外公理。
素理想定理
在進行實際的素理想定理介紹之前，回想序理論理想就是(非空)有向的下閉集合。如果被考慮的 poset 有如同本文中的 poset 這樣的二元上確界，則它可等價的特徵化為下閉集合 I，它閉合於二元上確界下(就是說 x, y 在 I 中蘊涵了 x並y 在 I 中)。一個理想 I 是素的，只要下確界 x交y 在 I 中，你還有 x 在 I 中或 y 在 I 中。一個理想是真理想，如果它不等於整個 poset。
歷史上，與後來的素理想定理有關的第一個陳述實際上提及的是濾子 -- 它是關於對偶次序的理想的子集。超濾子引理聲稱在集合上的所有濾子都包含在某個極大的(真)濾子內 -- 它叫超濾子。 回想在集合上的濾子就是它們的冪集上的布爾代數的真濾子。在這個特殊情況下，極大濾子(就是說不是任何真濾子的嚴格子集的濾子)和素濾子(就是說帶有每個子集 X 和 Y 的並集，也包含 X 或 Y 的濾子)是一致的。所以這個陳述的(等價)對偶確保了一個冪集的所有理想都包含在一個素理想中。
上述陳述導致了各種一般化了的素理想定理，每個都存在於一個弱和一個強形式中。“弱素理想定理”聲稱所有“不平凡”(non-trivial)的特定類的代數都有至少一個素理想。相反的，“強素理想定理”要求不相交於給定濾子的所有理想可以擴展成仍不相交於這個濾子的素理想。在代數不是 poset 的情況下，你使用不同的子結構替代濾子。很多形式的這種定理實際上已知是等價的，所以“PIT”成立的斷言通常被接受為相應的布爾代數陳述(BPI)是有效的斷言。
類似定理的另一個變體是通過把“素理想”的每個出現都替代為“極大理想”而得到的。相應的極大理想定理 (MIT)經常但不總是比它們的 PIT 等價者要強。
布爾素理想定理
布爾素理想定理是給布爾代數的強素理想定理。形式陳述為:
設 B 是布爾代數，設 I 是理想並設 F 是 B 的一個濾子，使得 I 和 F 是不交集。則 I 被包含在 B 的不相交於 F 的某個素理想中。布爾代數的弱素理想簡單的聲稱:
所有布爾代數都包含一個素理想。我們稱呼這些陳述為弱和強 BPI。這兩個陳述是等價的，因為強 BPI 明顯的蘊涵了弱 BPI，而反蘊涵可以通過使用弱 BPI 在適當的商代數中找到素理想來完成。
可以用各種不同方式來表達 BPI。為此，回想下列定理:
對於布爾代數 B 的任何理想 I，下列是等價的:
I 是素理想。
I 是極大真理想，就是說對於任何真理想 J，如果 I 包含在 J 中則 I = J。
對於 B 的所有元素 a，I 正好包含 {a, ¬a} 之一。
這個定理是布爾代數的眾所周知的事實。它的對偶建立了素濾子和超濾子的等價性。注意最後一個性質事實上是自對偶的 -- 只有前面的假定 I 是理想給出了完全特徵刻畫。值得提及的還有在這個定理內的所有蘊涵可以在經典 Zermelo-Fraenkel 集合論內證明。
因此下列布爾代數的(強)極大理想定理(MIT)等價於 BPI:
設 B 是布爾代數，設 I 是一個理想並設 F 是 B 的一個濾子，使得 I 和 F 不相交。則 I 包含在 B 的不相交於 F 的某個極大理想內。注意你需要"全局"極大性，而不只是關於不相交於 F 的極大性。這個變體產生了 BPI 的另一個等價特徵化:
設 B 是布爾代數，設 I 是一個理想並設 F 是 B 的一個濾子，使得 I 和 F 不相交。則 I 包含在 B 的不相交於 F 的所有理想中極大的某個理想內。這個陳述等價於 BPI 的事實可以輕易的從下列定理中看出: 對於任何分配格 L，如理想 I 在不相交於給定濾子 F 的 L 的所有理想中是極大的，則 I 是素理想。這個陳述的證明(它可以在 ZF 集合論內得出)包含關於理想的文章內。因為任何布爾代數都是分配格，這證實了想要的蘊涵。
所有上述陳述都是等價的。進一步的，你可以發現布爾代數的對偶次序完全的是布爾代數自身。因此，當採用所有前者陳述的等價對偶的時候，你可能終結於同等的適用於布爾代數的定理，但是這裡所有“理想”的出現都被替代為“濾子”。值得注意的是對於被考慮的布爾代數是關於子集排序的冪集的特殊情況下，"極大濾子定理"被稱為超濾子引理。
總結起來，對於布爾代數，弱和強 MIT，弱和強 PIT，和用濾子替代了理想的等價陳述都是等價的。已知所有這些陳述都是選擇公理的推論(可利用佐恩引理輕易的證明)，但是不能在經典 Zermelo-Fraenkel 集合論中證明。但是 BPI 嚴格的弱於選擇公理，儘管這個陳述的證明是非常不平凡的。
進一步的素理想定理
我們前面對布爾代數討論的元型性質可以輕易的修改來包括更一般的格，比如分配格或Heyting代數。但是，在這些情況下極大理想不同於素理想，而在 PIT 和 MIT 之間的關係是不明顯的。
實際上，已發現分配格甚至 Heyting 代數的 MIT 等價於選擇公理。在另一方面，已知分配格的強 PIT 等價於 BPI (比如布爾代數 MIT 和 PIT)。所以這個陳述嚴格的弱於選擇公理。進一步的，觀察到 Heyting 代數不是自對偶的，因此使用濾子替代理想在這種設定下產生不同的定理。可能令人驚奇，給 Heyting 代數的對偶的 MIT 不強於 BPI，它尖銳的相對於上述的 Heyting 代數的 MIT。
最後，素理想定理也存在於其他(非序理論的)抽象代數中。比如，環的 MIT 蘊涵了選擇公理。這種情況需要把序理論的術語"濾子"替代為其他概念 -- 對於環"乘法閉合子集"是合適的。
超濾子引理
在集合 X 上的濾子是 X 的非空子集的蒐集，它在有限的交集和在超集下閉合。超濾子是極大濾子。超濾子引理聲稱所有在集合 X 上的所有濾子都是某個在 X 上的超濾子( X 的非空子集的極大濾子)的一個子集。這個引理最常用在拓撲學中。
超濾子引理等價於布爾素理想定理，帶有在沒有選擇公理的 ZF 集合論內等價的可證明性。在證明背後的想法是形成布爾代數的任何集合的子集都在包含下偏序，而任何布爾代數都可通過Stone表示定理表示為集合的代數。
套用
直覺上，布爾素理想定理聲稱在布爾代數中有"足夠"的素理想，在我們可以擴展所有理想到極大理想的意義上。這對於證明 Stone布爾代數表示定理是有實踐上重要性的，它是Stone對偶性的特殊情況，在其中用特定拓撲架設所有素理想的集合併可以真正的從這個數據恢復最初的布爾代數（在同構的意義下）。進一步的，已發現在套用中你可以自由的選擇用素理想或素濾子來工作，因為所有理想唯一的確定一個濾子: 所有它的元素的布爾補的集合。這些方式在文獻中都可找到。
在一般拓撲學中被稱為依賴於選擇公理的很多其他定理實際上等價於 BPI。例如，緊緻豪斯多夫空間的積的定理等價於它。如果我們不考慮“豪斯多夫”性質我們得到等價於完全選擇公理的一個定理。
