完全平方數
完全平方數一個數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質：
性質1：
完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。性質2：
奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。證明 奇數必為下列五種形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分別平方後，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
綜上各種情形可知：奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9；十位數字為偶數。
性質3：
完全平方數證明 已知=10k+6，證明k為奇數。因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，於是可設m=10n+4或10n+6。則
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k為奇數。
推論1：如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那么這個數一定不是完全平方數。
推論2：如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。
性質4：
偶數的平方是4的倍數；奇數的平方是4的倍數加1。這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性質5：
奇數的平方是8n+1型；偶數的平方為8n或8n+4型。在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數；由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。
性質6：
平方數的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方後，分別得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性質7：
不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。性質8：
平方數的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。除了上面關於個位數，十位數和餘數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題：
一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。
下面以四位數為例來說明這個命題。
設四位數為，則
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
顯然，a+b+c+d是四位數被9除的餘數。
對於n位數，也可以仿此法予以證明。
關於完全平方數的數字和有下面的性質：
性質9：
完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質：
性質10：
為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。證明 充分性：設b為平方數，則
==(ac)
必要性：若為完全平方數，=，則
性質11：
如果質數p能整除a，但不能整除a，則a不是完全平方數。證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。
性質12：
在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若<k<(n+1)
則k一定不是完全平方數。
性質13：
一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。
重要結論
1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數；
2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；
5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；
6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；
8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。
討論題
1.(1986年第27屆IMO試題)
設正整數d不等於2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方數。
2.求k的最大值
個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數；
個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數；
個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數；
形如3n+2型的整數一定不是完全平方數；
形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數；
形如5n±2型的整數一定不是完全平方數；
形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數；
數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。
四平方和定理：每個正整數均可表示為4個整數的平方和
完全平方數的因數個數一定是奇數。
兩者區別
平方式和完全平方數的區別
（a+b）的平方=a的平方+2ab+b的平方
（a-b）的平方=a的平方-2ab+b的平方
完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括弧外的平方。另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括弧外的平方。算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央。（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然後把這個數放在兩數的乘方的中間，這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，後邊的符號都用+）”
一個數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。
區別：完全平方式是代數式，完全平方數是自然數。
範例
例1 一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。
解：設此自然數為x，依題意可得
x-45=m2⑴
x+44=n2⑵
（m,n為自然數）
⑵-⑴可得:
因為n+m>n-m
又因為89為質數，
所以：n+m=89;n-m=1
解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然數是1981。
例2 求證：四個連續的整數的積加上1，等於一個奇數的平方（1954年基輔數學競賽題）。
解：設四個連續整數分別為n-1、n、n+1、n+2.
這時，
(n-1)n(n+1)(n+2)+1=…①
易知該式可被分解為兩個二次因式的乘積，設為
得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1
故①可被分解為，因為n與n+1是連續兩個整數，故n(n+1)為偶數，所以[n(n+1)-1]為奇數，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1為一個奇數的平方。
例3 求證：11,111,1111，11111……這串數中沒有完全平方數。（1972年基輔數學競賽題。
解：易知該串數中若存在完全平方數，則為末尾是1或9的數的平方。
當該串數中存在末尾為1的數的平方時，則，其中n、k為正整數。
但，易知n2需滿足十位數為偶數，矛盾。
當該串數中存在末尾為9的數的平方時，則，其中n、k為正整數。
但，易知n2需滿足十位數為偶數，矛盾。
解2：完全平方數除以四餘數為0或1，而根據除以四餘數性質（一個數除以四的餘數=這個數末兩位除以四的餘數）可得，這串數除以四餘數為3，矛盾，所以這串數中沒有完全平方數。
例4 用300個2和若干個0組成的整數有沒有可能是完全平方數？
解：設由300個2和若干個0組成的數為A，則其數字和為600
3|600∴3|A
此數有3的因數，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可能有完全平方數。
例5 試求一個四位數，它是一個完全平方數，並且它的前兩位數字相同，後兩位數字也相同（1999國小數學世界邀請賽試題）。
解：設該四位數為1000a+100a+10b+b，則
1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11（100a+b）
故100a+b必須被11整除=>a+b被11整除，又因為(a+b)≤18
所以a+b=11，
帶入上式得四位數=11×（a×100+（11－a））=11×（a×99+11）=11×11×（9a+1)
故9a+1必須為完全平方數。由a=2、3、4、5、6、7、8、9驗證得，9a+1=19、28、27、46、55、64、73。所以有a=7一個解；此時b=4。因此四位數是7744=112×82=88×88。
例6 求滿足下列條件的所有自然數：
⑴它是四位數。
⑵被22除餘數為5。
⑶它是完全平方數。
解：設，其中n,N為自然數，可知N為奇數。
11|N-5或11|N+6
或
n=1不合
n=21369
n=334812601
n=465615329
n=59025
所以此自然數為1369,2601,3481,5329,6561,9025。
例7 矩形四邊的長度都是小於10的整數（單位：公分），這四個長度數可構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，並且這四位數是一個完全平方數，求這個矩形的面積（1986年縉雲杯初二數學競賽題）。
解：設千位與百位的數字為A,十位與個位數字為B
則該四位數為：1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且為完全平方數
所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除，又因為A+B≤18
故A+B=11
易知100A+B除以11後得數為完全平方數,且各個數位之和為10
驗證得該數64
所以A=7,B=4，則四位數是7744
例8 求一個四位數，使它等於它的四個數字和的四次方，並證明此數是唯一的。
