單因素方差分析:試驗中要考察的指標稱為試驗指標，影響試驗指標的條件稱為因 -百科知識中文網

基本概念

在方差分析中，我們將要考察的對象的某種特徵稱為 試驗指標，影響試驗指標的條件稱為因素，因素可分為兩類，一類是人們可以控制的(如原材料、設備、學歷、專業等因素)；另一類人們無法控制的(如員工素質與機遇等因素)。下面所討論的因素都是指 可控制因素。每個因素又有若干個狀態可供選擇，因素可供選擇的每個狀態稱為該因素的水平。如果在一項試驗中只有一個因素在改變，則稱為 單因素試驗；如果多於一個因素在改變，則稱為 多因素試驗。因素常用大寫字母A，B，C，…來表示，因素A的水平用來表示，下面對單因素試驗進行討論。

假設前提

設單因素A具有r個水平，分別記為，在每個水平下，要考察的指標可以看成一個總體，故有r個總體，並假設：

(1)每個總體均服從常態分配，即；

(2)每個總體的方差σ 相同；

(3)從每個總體中抽取的樣本相互獨立，i=1，2，…，r。

此處的均未知，將假設及相關符號列表，如表1所示。

表1 單因素試驗參數

水平	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析
樣本	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析
	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析
	單因素方差分析	單因素方差分析		單因素方差分析
	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析
樣本和	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析
樣本均值	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析
總體	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析
總體均值	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析	單因素方差分析

那么，要比較各個總體的均值是否一致，就是要檢驗各個總體的均值是否相等，設第i個總體的均值為μ，則

假設檢驗為；

備擇假設為不全相等。

在水平下，進行次獨立試驗，得到試驗數據，記數據的總個數為。

由假設有(未知)，即有，故可視為隨機誤差。記，從而得到如下數學模型：

，各個相互獨立，μ和未知。

方差分析的任務：

(1)檢驗該模型中r個總體的均值是否相等；

(2)作為未知參數的估計。

為了更仔細地描述數據，常在方差分析中引入總平均和效應的概念，將各均值的加權平均值記為μ，即

其中再引入

δ表示在水平A下總體的均值μ與總平均μ的差異，稱其為因子A的第i個水平A的效應。易見，效應間有如下關係式

利用上述記號，前述數學模型可改寫為

，各個相互獨立，μ和未知。

而前述檢驗假設則等價於

：不全為零．

這是因為若且唯若時，，即。

偏差平方和及其分解

為了使造成各隨機變數X之間的差異的大小能定量表示出來，引入：

記在水平A下樣本和為，其樣本均值為因素A下的所有水平的樣本總均值為

為了通過分析對比產生樣本

之間差異性的原因，從而確定因素A的影響是否顯著，我們引人 偏差平方和來度量各個體間的差異程度

因S能反映全部試驗數據之間的差異，所以又稱為 總偏差平方和。

如果H成立，則r個總體間無顯著差異，也就是說因素A對指標沒有顯著影響，所有的X可以認為來自同一個總體，各個X間的差異只是由隨機因素引起的，若H不成立，則在總偏差中，除隨機因素引起的差異外，還包括由因素A的不同水平的作用而產生的差異，如果不同水平作用產生的差異比隨機因素引起的差異大得多，就認為因素A對指標有顯著影響，否則，認為 無顯著影響。為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然後進行比較。

記