協變微分

概述

數學分析里,我們已有了一個函式微分導數的概念。 這一概念中, 微分的對象是一個純量函式,其定義域歐氏空間的一個區間求導的方向就是坐標軸的方向(方嚮導數,梯度)。
微分幾何里,人們希望推廣這個概念到一般微分流形上。首先求導(或求微)的對象從函式推廣到向量場(就是向量叢截面,如切向量場和餘切向量場), 定義域則移到了整個流形上(不再是平坦的空間), 求導的方向可以是任何切向量的方向。這樣得到的導數就稱為協變導數,其微分稱為協變微分。
從局部上看,這樣的導數和我們以前的偏導數相比多出了一堆修正值。這些修正值就是所謂的聯絡---這是近代微分幾何最重要的概念。粗略的講,聯絡就是反映流形在外部大空間中看,所處的位置和彎曲程度。 但是,值得注意的是,我們定義的協變導數和協變微分實際上是內蘊的(就是說只和流形有關,與它的外部無關)。
如果是黎曼流形(就是有度量的流形),則可以為一定義一種聯絡,從而有了一種協變微分定義。

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