簡介
良序定理聲稱所有集合都可以被良序排序。在ZF公理集合論系統中，它與選擇公理和佐恩引理是等價的。
與選擇公理的關係
ZFC中的證明良序定理是一條ZFC公理集合論系統中的定理。它可以由佐恩引理證明如下：
對任意集合S，為了證明存在S上的一個良序，令集合P為所有S的子集上的良序（嚴格來說，P的元素是S的子集和其上的良序關係組成的有序對）。對任意A，B∈P，定義A≤B若且唯若A是B的一個前段。(P,≤)構成一偏序集，且對這個偏序集的任意鏈，取其中所有良序的並，則得到這條鏈的一個上界。套用佐恩引理，得到P有一個極大元M。M必然是整個S的一個偏序，否則若x是不在M中的一個S的元素，把x接到M後面得到M'，則M'∈P且M≤M'，與M的極大性矛盾。定理得證。
在ZF中，由良序定理可以簡單地證明選擇公理：
對任意由非空集合組成的集合A，取A的並集S，由良序定理，S是可以良序的。A中的任意集合X都是S的非空子集，故根據這個S的良序，可以選出一個最小元素x。這種選擇是滿足替換公理模式的條件的，故套用替換公理模式，即證明了選擇公理。
由此可見，在ZF中良序定理和選擇公理是等價的，故在有些ZFC公理系統的表示中，良序定理代替了選擇公理。
意義
良序定理是非常重要的，因為它確保所有集合適用超限歸納法的強力技術。
康托爾認為良序定理是“思維的基本原理”。但是多數數學家發現想像如實數集合R這樣的良序集合是困難的。在 1904年，Julius König聲稱已經證明了這種良序不能存在。幾周之後，費利克斯·豪斯多夫在他的證明中發現了一個錯誤。恩斯特·策梅洛接著引入了選擇公理作為證明良序定理的“不討厭的邏輯原理”。這揭示了良序定理等價於選擇公理，在它們中的一個和Zermelo-Fraenkel公理一起足夠證明另一個的意義上。
良序定理已經推出似乎是悖論的推論，比如巴拿赫-塔斯基悖論。
