基本規律
似乎無人研究過等差數列還有倍增規律，在等差數列性質中也缺少這個簡單性質。
3、13、23、33、43、53、63、73、83
上面這個等差數列是一個標準的等差數列，自3開始到43共包含5個數列項3、13、23、33、43；36個非數列項4、5、6、7、8、9、10、11、12、14、15......等。延長一倍後到第9項83，自43到83共包含5個數列項和36個非數列項。數列項個數和非數列項個數與前半部分是一樣的。就是說等差數列延長一倍則等差數列中的數列項個數及非數列項個數亦增加一倍，這就是等差數列倍增規律。
等差數列倍增規律包含兩個規律：
第一規律：
自3開始到43共包含5個數列項36個非數列項。延長一倍後到第9項83，自43到83共包含5個數列項和36個非數列項。數列項個數和非數列項個數與前半部分是一樣的。這是等差數列倍增規律的第一個重要結論。
第二規律:
自3 和自43開始的各數列項位置是重複的，非數列項位置也是重複的，與前半部分是一模一樣的。這是等差數列倍增規律的第二個結論。
將很多等差數列疊加在一起，也同樣具有這一性質。
有若干整數等差數列，在這些等差數列重疊部分截取較長一段長度N，在這些等差數列中有不同項M1個。當這些等差數列全部向同方向增加長度N後，在N-2N內有不同項M2個。根據容斥原理，M1=M2。只是因為N在等差數列中與項的位置不同，會有一些小的誤差，故這裡應該是M1≈M2。也就是說，多個等差數列疊加在一起後，延長一倍，則其中不同項的個數也會大致增加一倍。增加的倍數會在1附近稍有變化。類似於量子力學的機率說法。
比如：
| 2的倍數數列 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | ||||||||
| 3的倍數數列 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | |||||||||||
| 疊加 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 | |||||
| 倍增關係 | 2到8疊加後共5個項2、3、4、6、8、及2個非數列項5、7 | 12到18疊加後也有5個項12、14、15、16、18及2個非數列項13、17 | |||||||||||||||
等差數列倍增規律的套用套用
所有的合數都可以寫成公式XY格式，這裡的X>1.y>1，同時XY也構成了所有合數。XY的結果可以組成了很多行的等差數列，這些等差數列上的項構成了全體合數，而不在項上的整數數字就是素數。或者說非數列項就是素數。因此，等差數列倍增規律第一規律將在素數個數問題上可以發揮重要作用，第二規律將在素數分布問題上發揮重要作用。
孿生素數猜想、三胞胎素數猜想、四胞胎素數猜想、六素數猜想等許多涉及素數個數的數論猜想均可以通過等差數列倍增規律來證明。如通過等差數列形成的孿生素數篩法可以篩選孿生素數，再利用等差數列倍增規律就可以證明孿生素數猜想，而且是孿生素數猜想初等證明。
參看下面兩個表格
| 自然數（表中數字去掉個位9後，實際上是逐行翻倍） | 素數的個位為1 | 素數的個位為3 | 如11-13類型孿生素數 | 四胞胎素數 | ||||
| 素數個數 | 倍增比值 | 素數個數 | 倍增比值 | 孿生素數個數 | 倍增比值 | 四胞胎素數個數 | 倍增比值 | |
| 29 | 1 | 1.0000 | 3 | 1.5000 | 1 | 1.0000 | 1 | 1.0000 |
| 49 | 3 | 3.0000 | 4 | 1.3333 | 2 | 2.0000 | 1 | 1.0000 |
| 89 | 5 | 1.6667 | 7 | 1.7500 | 3 | 1.5000 | 1 | 1.0000 |
| 169 | 8 | 1.6000 | 10 | 1.4286 | 4 | 1.3333 | 2 | 2.0000 |
| 329 | 16 | 2.0000 | 18 | 1.8000 | 7 | 1.7500 | 3 | 1.5000 |
| 649 | 28 | 1.7500 | 30 | 1.6667 | 11 | 1.5714 | 3 | 1.0000 |
| 1289 | 50 | 1.7857 | 54 | 1.8000 | 17 | 1.5455 | 4 | 1.3333 |
| 2569 | 92 | 1.8400 | 97 | 1.7963 | 27 | 1.5882 | 7 | 1.7500 |
| 5129 | 168 | 1.8261 | 175 | 1.8041 | 46 | 1.7037 | 9 | 1.2857 |
| 10249 | 313 | 1.8631 | 317 | 1.8114 | 68 | 1.4783 | 11 | 1.2222 |
| 20489 | 576 | 1.8403 | 583 | 1.8391 | 119 | 1.7500 | 18 | 1.6364 |
| 40969 | 1059 | 1.8385 | 1086 | 1.8628 | 205 | 1.7227 | 23 | 1.2778 |
| 81929 | 1986 | 1.8754 | 2002 | 1.8435 | 346 | 1.6878 | 33 | 1.4348 |
| 163849 | 3748 | 1.8872 | 3755 | 1.8756 | 604 | 1.7457 | 45 | 1.3636 |
| 327689 | 7035 | 1.8770 | 7071 | 1.8831 | 1082 | 1.7914 | 72 | 1.6000 |
| 655369 | 13282 | 1.8880 | 13338 | 1.8863 | 1938 | 1.7911 | 124 | 1.7222 |
| 1310729 | 25172 | 1.8952 | 25209 | 1.8900 | 3442 | 1.7761 | 214 | 1.7258 |
| 2621449 | 47821 | 1.8998 | 47851 | 1.8982 | 6220 | 1.8071 | 363 | 1.6963 |
| 5242889 | 90957 | 1.9020 | 91110 | 1.9040 | 11265 | 1.8111 | 560 | 1.5427 |
| 10485769 | 173633 | 1.9090 | 173756 | 1.9071 | 20652 | 1.8333 | 930 | 1.6607 |
| 20971529 | 331969 | 1.9119 | 332201 | 1.9119 | 37550 | 1.8182 | 1529 | 1.6441 |
| 41943049 | 635972 | 1.9158 | 636108 | 1.9148 | 68405 | 1.8217 | 2487 | 1.6266 |
| 83886089 | 1220577 | 1.9192 | 1220765 | 1.9191 | 125868 | 1.8400 | 4189 | 1.6844 |
| 167772169 | 2346142 | 1.9222 | 2346530 | 1.9222 | 232302 | 1.8456 | 7054 | 1.6839 |
| 335544329 | 4516800 | 1.9252 | 4517428 | 1.9252 | 429878 | 1.8505 | 12006 | 1.7020 |
| 671088649 | 8707773 | 1.9279 | 8707822 | 1.9276 | 797856 | 1.8560 | 20557 | 1.7122 |
| 1342177289 | 16809160 | 1.9304 | 16810346 | 1.9305 | 1486882 | 1.8636 | 35848 | 1.7438 |
| 2684354569 | 32486697 | 1.9327 | 32487852 | 1.9326 | 2776461 | 1.8673 | 62387 | 1.7403 |
| 5368709129 | 62858965 | 1.9349 | 62859510 | 1.9349 | 5195786 | 1.8714 | 109113 | 1.7490 |
| 10737418249 | 121756074 | 1.9370 | 121757490 | 1.9370 | 9747328 | 1.8760 | 191356 | 1.7537 |
每億之間四胞胎素數統計結果（四胞胎素數省略了個位，如首個四胞胎素數1填上個位後就是11-13-17-19）
| 範圍 | 首位四胞胎素數 | 末位四胞胎素數 | 個數 | 相鄰區間個數比值 |
| 0-1億 | 1 | 9998224 | 4767 | |
| 1-2億 | 10000546 | 19993228 | 3329 | 0.698342773 |
| 2-3億 | 20003653 | 29995708 | 2876 | 0.8639231 |
| 3-4億 | 30002845 | 39999772 | 2740 | 0.9527121 |
| 4-5億 | 40005712 | 49999822 | 2618 | 0.955474453 |
| 5-6億 | 50022733 | 59993557 | 2508 | 0.957983193 |
| 6-7億 | 60003574 | 69998911 | 2436 | 0.971291866 |
| 7-8億 | 70001464 | 79993768 | 2385 | 0.979064039 |
| 8-9億 | 80000863 | 89999437 | 2422 | 1.015513627 |
| 9-10億 | 90002566 | 99998617 | 2306 | 0.952105698 |
| 10-11億 | 100002526 | 109996015 | 2208 | 0.957502168 |
| 11-12億 | 110025814 | 119997862 | 2217 | 1.004076087 |
| 12-13億 | 120001843 | 129981895 | 2137 | 0.963915201 |
| 13-14億 | 130000435 | 139999228 | 2111 | 0.987833411 |
| 14-15億 | 140003599 | 149985547 | 2102 | 0.995736618 |
| 15-16億 | 150004888 | 159994150 | 2036 | 0.968601332 |
| 16-17億 | 160001857 | 169993414 | 2025 | 0.99459725 |
| 17-18億 | 170003842 | 179996986 | 1999 | 0.987160494 |
| 18-19億 | 180001120 | 189999601 | 2043 | 1.022011006 |
| 19-20億 | 190000882 | 199982926 | 1996 | 0.976994616 |
| 20-21億 | 200012779 | 209996956 | 1890 | 0.946893788 |
| 21-22億 | 210018544 | 219996997 | 1861 | 0.984656085 |
| 22-23億 | 220000807 | 229993207 | 1969 | 1.058033315 |
| 23-24億 | 230003026 | 239996125 | 1944 | 0.9873032 |
| 24-25億 | 240000976 | 249990109 | 1900 | 0.977366255 |
| 25-26億 | 250006270 | 259999498 | 1933 | 1.017368421 |
| 26-27億 | 260000389 | 269997127 | 1906 | 0.986032074 |
| 27-28億 | 270000757 | 279995929 | 1928 | 1.011542497 |
| 28-29億 | 280005055 | 289997263 | 1875 | 0.972510373 |
| 29-30億 | 290002693 | 299996443 | 1873 | 0.998933333 |
| 30-31億 | 300004174 | 309999100 | 1786 | 0.953550454 |
| 31-32億 | 310001434 | 319986451 | 1757 | 0.983762598 |
| 32-33億 | 320005306 | 329991700 | 1765 | 1.004553216 |
| 33-34億 | 330005656 | 339997003 | 1741 | 0.986402266 |
| 34-35億 | 340001560 | 349997887 | 1773 | 1.018380241 |
| 35-36億 | 350004184 | 359996122 | 1722 | 0.971235195 |
| 36-37億 | 360002200 | 369992155 | 1766 | 1.025551684 |
| 37-38億 | 370001257 | 379998781 | 1769 | 1.001698754 |
| 38-39億 | 380005309 | 389998666 | 1729 | 0.977388355 |
| 39-40億 | 390008431 | 399988753 | 1763 | 1.019664546 |
| 40-41億 | 400002088 | 409994266 | 1728 | 0.980147476 |
| 41-42億 | 410003422 | 419998024 | 1808 | 1.046296296 |
| 42-43億 | 420001384 | 429994624 | 1680 | 0.92920354 |
| 43-44億 | 430001512 | 439988377 | 1636 | 0.973809524 |
| 44-45億 | 440008054 | 449989732 | 1696 | 1.036674817 |
| 45-46億 | 450000106 | 459999097 | 1712 | 1.009433962 |
| 46-47億 | 460012162 | 469998847 | 1673 | 0.977219626 |
| 47-48億 | 470007100 | 479998375 | 1710 | 1.022115959 |
| 48-49億 | 480019594 | 489989755 | 1724 | 1.008187135 |
| 49-50億 | 490002682 | 499997251 | 1671 | 0.969257541 |
| 50-51億 | 500002021 | 509995624 | 1693 | 1.013165769 |
| 51-52億 | 510005053 | 519999103 | 1665 | 0.983461311 |
| 52-53億 | 520000780 | 529993600 | 1720 | 1.033033033 |
| 53-54億 | 530012722 | 539986501 | 1614 | 0.938372093 |
| 54-55億 | 540000427 | 549997393 | 1675 | 1.0377943 |
| 55-56億 | 550001737 | 559999396 | 1684 | 1.005373134 |
| 56-57億 | 560004007 | 569994601 | 1648 | 0.978622328 |
| 57-58億 | 570009550 | 579994882 | 1649 | 1.000606796 |
| 58-59億 | 580002181 | 589990117 | 1583 | 0.959975743 |
| 59-60億 | 590000419 | 599992093 | 1593 | 1.006317119 |
| 60-61億 | 600000955 | 609996472 | 1559 | 0.978656623 |
| 61-62億 | 610018312 | 619997815 | 1600 | 1.02629891 |
| 62-63億 | 620003410 | 629987401 | 1600 | 1 |
| 63-64億 | 630012325 | 639997144 | 1640 | 1.025 |
| 64-65億 | 640007623 | 649996390 | 1548 | 0.943902439 |
| 65-66億 | 650008915 | 659987515 | 1566 | 1.011627907 |
| 66-67億 | 660000622 | 669999811 | 1576 | 1.006385696 |
| 67-68億 | 670017664 | 679984663 | 1571 | 0.996827411 |
| 68-69億 | 680000884 | 689997703 | 1499 | 0.954169319 |
| 69-70億 | 690003721 | 699993577 | 1573 | 1.049366244 |
| 70-71億 | 700001044 | 709987405 | 1588 | 1.009535919 |
| 71-72億 | 710011744 | 719971012 | 1578 | 0.993702771 |
| 72-73億 | 720009424 | 729998398 | 1516 | 0.960709759 |
| 73-74億 | 730000510 | 739998022 | 1546 | 1.019788918 |
| 74-75億 | 740001085 | 749998231 | 1532 | 0.990944373 |
| 75-76億 | 750002506 | 759993799 | 1465 | 0.956266319 |
| 76-77億 | 760000813 | 769997362 | 1551 | 1.058703072 |
| 77-78億 | 770006611 | 779992837 | 1517 | 0.978078659 |
| 78-79億 | 780000226 | 789997351 | 1500 | 0.988793672 |
| 79-80億 | 790001194 | 799991029 | 1508 | 1.005333333 |
| 80-81億 | 800007202 | 809997385 | 1494 | 0.99071618 |
| 81-82億 | 810001603 | 819999400 | 1501 | 1.004685408 |
| 82-83億 | 820002793 | 829997887 | 1532 | 1.020652898 |
| 83-84億 | 830006665 | 839998015 | 1577 | 1.029373368 |
| 84-85億 | 840004030 | 849993427 | 1540 | 0.97653773 |
| 85-86億 | 850002730 | 859997164 | 1618 | 1.050649351 |
| 86-87億 | 860027365 | 869994751 | 1522 | 0.940667491 |
| 87-88億 | 870000202 | 879998101 | 1452 | 0.954007884 |
| 88-89億 | 880006408 | 889997011 | 1493 | 1.028236915 |
| 89-90億 | 890009293 | 899994385 | 1528 | 1.023442733 |
| 90-91億 | 900001504 | 909988864 | 1505 | 0.984947644 |
| 91-92億 | 910002241 | 919994941 | 1472 | 0.97807309 |
| 92-93億 | 920012626 | 929999080 | 1496 | 1.016304348 |
| 93-94億 | 930002116 | 939994501 | 1485 | 0.992647059 |
| 94-95億 | 940005664 | 949977313 | 1533 | 1.032323232 |
| 95-96億 | 950016742 | 959991931 | 1439 | 0.938682322 |
| 96-97億 | 960012616 | 969999661 | 1473 | 1.023627519 |
| 97-98億 | 970001929 | 979985077 | 1438 | 0.976238968 |
| 98-99億 | 980011609 | 989993749 | 1466 | 1.019471488 |
| 99-100億 | 990003451 | 999985729 | 1458 | 0.994542974 |
| 100-101億 | 1000005742 | 1009994884 | 1512 | 1.037037037 |
| 101-102億 | 1010020147 | 1019999884 | 1465 | 0.968915344 |
| 102-103億 | 1020027520 | 1029991021 | 1469 | 1.002730375 |
| 103-104億 | 1030006843 | 1039997512 | 1416 | 0.963921035 |
| 104-105億 | 1040024119 | 1049997091 | 1464 | 1.033898305 |
| 105-106億 | 1050008335 | 1059977110 | 1484 | 1.013661202 |
| 106-107億 | 1060013125 | 1069992094 | 1469 | 0.989892183 |
| 107-108億 | 1070001178 | 1079998750 | 1425 | 0.970047651 |
| 108-109億 | 1080001933 | 1089982792 | 1391 | 0.976140351 |
| 109-110億 | 1090010332 | 1099991728 | 1426 | 1.025161754 |
| 110-111億 | 1100006773 | 1109997673 | 1476 | 1.035063114 |
| 111-112億 | 1110008737 | 1119987622 | 1466 | 0.993224932 |
| 112-113億 | 1120003813 | 1129992445 | 1453 | 0.991132333 |
| 113-114億 | 1130002879 | 1139999761 | 1470 | 1.011699931 |
| 114-115億 | 1140001843 | 1149996517 | 1467 | 0.997959184 |
| 115-116億 | 1150003366 | 1159991260 | 1447 | 0.986366735 |
| 116-117億 | 1160009569 | 1169990041 | 1470 | 1.015894955 |
| 117-118億 | 1170002053 | 1179995458 | 1426 | 0.970068027 |
| 118-119億 | 1180003081 | 1189997245 | 1419 | 0.995091164 |
| 119-120億 | 1190010013 | 1199998945 | 1482 | 1.044397463 |
| 120-121億 | 1200007336 | 1209993730 | 1474 | 0.994601889 |
| 121-122億 | 1210002403 | 1219997479 | 1416 | 0.960651289 |
| 122-123億 | 1220001868 | 1229991652 | 1387 | 0.979519774 |
| 123-124億 | 1230000628 | 1239999013 | 1352 | 0.974765681 |
| 124-125億 | 1240003621 | 1249994581 | 1472 | 1.088757396 |
| 125-126億 | 1250000314 | 1259995126 | 1405 | 0.954483696 |
| 126-127億 | 1260002320 | 1269997123 | 1437 | 1.022775801 |
| 127-128億 | 1270012906 | 1279991182 | 1410 | 0.981210856 |
| 128-129億 | 1280008903 | 1289997238 | 1365 | 0.968085106 |
| 129-130億 | 1290002785 | 1299992251 | 1397 | 1.023443223 |
| 130-131億 | 1300003570 | 1309993000 | 1440 | 1.030780243 |
| 131-132億 | 1310008990 | 1319994229 | 1414 | 0.981944444 |
| 132-133億 | 1320027409 | 1329999844 | 1458 | 1.031117397 |
| 133-134億 | 1330003771 | 1339997032 | 1476 | 1.012345679 |
| 134-135億 | 1340008279 | 1349988904 | 1423 | 0.964092141 |
| 135-136億 | 1350016648 | 1359982387 | 1455 | 1.022487702 |
