數字邏輯[數字邏輯:基於二進制數學或布爾代數的邏輯]

數字邏輯,是處理數位訊號的邏輯,數字電路運作的原理;實質上是指基於二進制數學或布爾代數的邏輯。

由來與具體含義

人們常說“進入了數字時代”,這裡的“數字”,並非日常生活中常用的代表數量的數字,而是由“數字電路”中的“數字”的含義引申而來的。從數字(集成)電路的出現到計算機到網路到今天的移動網際網路,數字電路是所有現代信息技術的基礎。從這個角度,“數字時代”就是“信息社會”的意思。

那么數字電路的基礎又是什麼呢?就是數字邏輯。所有數字系統都是基於數字邏輯來設計的,而數字邏輯設計的數學基礎是布爾代數,數字電路的設計所有行為都必須符合布爾代數的原理。布爾代數是19世紀英國數學家喬治.布爾(George Boole)創立的,它是一種描述客觀事物邏輯關係的數學方法,是從哲學領域的邏輯學發展而來的。因此數字電路中的邏輯表達式也叫布爾表達式。數字電路最基礎的設計方法“真值表法”,就是在推算各種布爾表達式的值。我們觀察一下生活中的邏輯,會發現有很多對立的二元值,比如真假、對錯、開關、有無,而布爾研究發現,任何複雜的邏輯,都可以用“與”、“或”、“非”三種最基本的邏輯組合變化而來。在計算機或者嵌入式系統裡面,if-then-else更是所有程式語言都要用到的語句。因此我們可以將邏輯運算歸結為三個操作、兩個結果。三個操作就是“與或非”,兩個結果在數字邏輯裡面就是0和1。這正好跟數字電路的高、低兩個電平相對應;也與電晶體的開、關相對應。這就是為什麼積體電路在數字領域得到蓬勃發展的原因。在數字系統中,任何數字和文本、聲音、圖形圖像等複雜信息都可以用二進制的數位化代碼來表示的。比如0001100代表字母A,1010101代表字母Z;MP3是用二進制記錄聲音的一種格式(標準);H.264是用二進制記錄視頻的一種格式(標準);等等。

電晶體適合製造大規模積體電路,CMOS電晶體擅長二值處理,數字邏輯為二值,這幾個因素綜合在一起的結果就是數字積體電路普遍採用二進制。而除了邏輯運算之外,二進制同樣需要做數值的運算,這跟十進制的運算沒有本質的差別,只是表達方式不同,比如3+4=7,二進制運算可表示為011+100=111,藉助於各種代碼表示和編碼方式,二進制同樣可以方便地完成各種數值運算,比如通過二進制的補碼,可以把減法轉化為電路實現較為簡單的加法來實現,這也是數字系統中多採用補碼的原因。從加法器的電路,可以看出,加法這個數值運算,最終還是體現為邏輯運算,為各個邏輯電路的組合。可見,儘管構成邏輯代數系統的元件極為簡單,卻能描述數字系統中任何複雜的邏輯電路。另外布爾代數還有一些公理如交換律、吸收率、分配律、結合律等等,數字電路設計中經常根據這些公理來做電路的變換和最佳化,以達到提高性能或節省面積、降低功耗的目的。

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