幾何學基礎

念的直觀而推出歐氏幾何的所有定理.這一公理系統的構造成功應歸功於德國數學家希爾伯特 出來，歐氏幾何不是惟一的真實.於是羅巴切夫斯基在歐氏幾何公理系統中剔除第五公設，卻同時加進 樣，只要假定實數系統是無矛盾的，則歐氏幾何與羅氏幾何都是相容的.並由此可以進一步得出結論:第

《幾何原本》幾乎是兩千多年間一直被公認為用嚴格的邏輯結構來建立學科體系的典範。後來 英國數理邏輯學家羅素（RusselhB.A. W.)所指出 的那樣他的定義並不總是下了定義的，他的公理 並不總是不可證明的，他的證明需要許多他還沒有 完全意識到的公理.”
古代學者就已開始著手改善《幾何原本》中所陳述的那個歐氏幾何公理系統.古希臘數學家、力學家阿基米德（Archimedes)就曾為了嚴格陳述關於長度、面積和體積的測量理 論而擴充過歐幾里得的公設表.人所共知的阿基米 德公設便是其中一例.
直到19世紀末期，人們才第一次給出了一個完備的公理系統.從這個公理系統出發，能夠不依靠任何空間觀 念的直觀而推出歐氏幾何的所有定理.這一公理系統的構造成功應歸功於德國數學家希爾伯特 (Hilbert,D.).他的這個歐幾里得幾何公理系統於1899年首次發表，並由此而激起了人們對歐幾里得 幾何基礎的廣泛關注.他的《幾何基礎》不僅解決了如何用公理化方法研究幾何學的基礎問題，還把公 理化方法推向了完善化階段，以致使該書成為近代 公理化思想方法的代表作.而公理化方法又有力地推動著數學基礎的研究與探索.
19世紀的俄國年輕數學家羅巴切夫斯基產生了與前人完全不同的信念:他認為第五公設不能從其餘的幾何公理中推演 出來，歐氏幾何不是惟一的真實.於是羅巴切夫斯基在歐氏幾何公理系統中剔除第五公設，卻同時加進 一個相反於第五公設的公理過平面上一已知直線 外的一點，至少可以引兩條直線與該已知直線不相 交.人們稱之為“羅氏公設“因此構造出一個新的 幾何系統，稱為羅巴切夫斯基幾何系統。
直到19世紀末葉，法國數學家龐加萊(Poincare,(J.-)H.)率先在歐氏幾何系統中構造了 一個羅氏幾何模型，就是在歐氏幾何系統中選取三類幾何對象，分別稱為羅氏平面、羅氏直線、羅氏點， 亦即分別作為羅氏幾何元素“平面、直線、點”的解 釋，然後再去驗證所選的這些幾何對象之間的關係 能以滿足羅氏幾何系統的每一條公理的要求.
法國數學家笛卡兒（Descartes，R.)所創建之解析幾何的啟發，終於在實數系統中構造了一個歐氏幾何系統的模型.這 樣，只要假定實數系統是無矛盾的，則歐氏幾何與羅氏幾何都是相容的.並由此可以進一步得出結論:第 五公設是不可能從其他公設、公理中作為定理而被證明，否則羅氏幾何系統中將有第五公設與羅氏公 設並存而成為矛盾系統了.因而相對於實數系統為 相容系統而言，第五公設問題已獲得了明確的答案. 但實數系統究竟相容與否，最終又要歸結到作為整 個經典數學之理論基礎的集合論的相容性問題.還 應指出，當時年僅21歲的匈牙利數學家波爾約 (Bolyai，J)和德國數學家髙斯（Gauss，G.F.)也不約而同地發現了新幾何的存在。