完全數問題

完全數問題是關於完全數的存在性與無窮性的一組數論難題。

完全數問題 (perfect number problem)若正整數n的所有正因數之和等於2n，則稱n為完全數.可表達為a(n)=2n，式中a(n)是n的所有正因數之和.人們問道:完全數是否有無窮多? 早在古希臘人們就知道了兩個完全數:6,28.數學家歐幾里得(Euclid )的《幾何原本》中曾給出過完全數的定義，並證明了完全數的一個重要性質:如果2"一1是素數，則2p-1 }7.p-1}是完全數.這是構造偶完全數的一個充分條件.18世紀，瑞士數學家歐拉(Eider，工創.)又進一步證明了一個偶完全數必有2"--,2"-1)的形式，其中2”一1是素數〔此時，P必然也是素數).於是偶完全數與梅森素數M，之間建立了一一對應關係:任一個偶完全數為2”一’M".