圓周長

圓周長

圓周長是指在圓中內接一個正n邊形,邊長設為an,正邊形的周長為n×an,當n不斷增大的時候,正邊形的周長不斷接近圓的周長C的數學現象,即:n趨近於無窮,C=n×an。

計算公式

圓周長 圓周長
圓周長 圓周長
圓周長 圓周長
圓周長 圓周長
圓周長 圓周長

在古代,這個問題幾乎是依賴於對實驗的歸納。人們在經驗中發現圓的周長與直徑有著一個常數的比,並把這個常數叫做圓周率(西方記做)。於是自然地,圓周長就是:或者(其中是圓的直徑,是圓的半徑)。

圓周率

圓周長 圓周長

後來的數學家們就想辦法算出這個π的具體值,數學家劉徽用的是“割圓術”的方法,也就是用圓的內接正多邊形和外切正多邊形的周長逼近圓周長,求得圓接近192邊型,求得圓周率大約是3.14。

割圓術的大致方法在中學的數學教材上就有。然而必須看到,它很大程度上只是計算圓周率的方法,而圓周長是C = π * d似乎已經是事實了,這一方法僅僅是定出π的值來。仔細想想就知道這樣做有問題,因為他們並沒有從邏輯上證明圓的周長確實正比於直徑,更進一步說他們甚至對周長的概念也僅是直觀上的、非理性的。

推導過程

真正從理論上嚴密推導圓的周長必須依賴近代的分析數學,包括微積分的使用才行。

推導圓周長最簡潔的辦法是用積分。

在平面直角坐標下圓的方程是:

圓周長 圓周長

這可以寫成參數方程:

圓周長 圓周長

y = r * Sin t

t∈[0, 2π]

於是圓周長就是

圓周長 圓周長

結果自然就是

C = 2π * r

(註:三角函式一般的定義是依賴於圓的周長或面積的,為了避免邏輯上的循環論證,可以把三角函式按收斂的冪級數或積分來定義而不依賴於幾何,此時圓周率就不是由圓定義的常數,而是由三角函式周期性得到的常數)

如果不需要更多的理論討論,上面的做法就足夠了。當然更確切地,人們或許還需要知道在數學上曲線的周長是如何定義的,以及圓的周長的存在性問題。這裡就一時之間說不清了。

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