勒穆瓦納圓

勒穆瓦納圓(Lemoine circle)是兩個著名的多點共圓問題，由勒穆瓦納(É.M.H.Lemoine)提出的兩個多點共圓問題。勒穆瓦納圓包括第一勒穆瓦納圓(first Lemoine circle)和第二勒穆瓦納圓(second Lemoine circle)。第一勒穆瓦納圓又稱為三重比圓，第二勒穆瓦納圓又稱為餘弦圓。

基本介紹

設G是△ABC的重心，K是陪位重心，過K作三邊的平行線l，l，l(圖1)，這種平行線稱為勒穆瓦納平行線。

圖1

1.三條勒穆瓦納平行線與三角形周界的六個交點在同一個圓上(圖2)，這個圓稱為這個三角形的第一勒穆瓦納圓，該圓在三角形三邊上所截的弦與三邊的立方成比例，故又稱為三重比圓。

圖2

2.過三角形的陪位重心所作三邊的逆平行線(即逆相似邊)的六個端點在同一個圓上(圖3)。

圖3

這個圓稱為這個三角形的第二勒穆瓦納圓，該圓在三角形三邊上所截的弦與對角的餘弦成比例，故又稱為餘弦圓 。

第一勒穆瓦納圓

過三角形陪位重心作三邊的平行線與各邊相交的六個交點共圓。

陪位重心：設△ABC的三條中線AM、BN、CL的交點為G(重心)，過A作AM'使∠CAM'=∠BAM，作BN'使∠ABN'=∠CBN，作CL'使∠ACL'=∠BCL，則AM'、BN’、CL'三線共點於K，這個點就稱為三角形的 陪位重心，AM'、BN'、CL'稱為陪位中線。

圖4

圖5

該圓於1873年為Lemoine所得到。設K為△ABC陪位重心，過K作LM∥BC交AB、AC於L、M，作PQ∥AB交BC、AC於P、Q，作ST∥AC交BC、AB於S、T。

連結TQ、AK，因為四邊形ATKQ是平行四邊形，所以TQ與AK互相平分。因為AK是△ABC的陪位中線，所以過K點的關於BC的逆平行線也被AK平分，故而TQ為關於BC的逆平行線。

於是∠AQT=∠ABC=∠ALM，T、L、M、Q四點共圓。同理可證Q、P、S、M四點共圓，T、L、P、S四點共圓，從而得到T、L、P、S、M、Q六點共圓 。

第二勒穆瓦納圓

三角形的第二Lemoine圓(Second lemoine circle of triangle)：過三角形陪位重心作各邊的逆平行線與各邊相交的六個交點共圓。

該圓於1873年為Lemoine所得到。

圖6

圖7

逆平行線：過△ABC內任一點K，作直線交AB、AC於L、M，使△AML∽△ABC，但LM不平行於BC，則稱ML為過K關於BC的逆平行線。三角形有三類這樣的逆平行線。若K是陪位重心，則K將平分過K的三條逆平行線。

設K是陪位重心，LM、PQ、ST是過K點的逆平行線，因為

∠ALM=∠C，∠AML= ∠B，

∠BST=∠A，∠BTS=∠C，

∠CQP=∠B，∠CPQ=∠A，

所以∠ALM=∠BTS，△KTL是等腰三角形，其兩腰KL= KT。

同理有KP = KS，KM = KQ。

又陪位重心K平分過K點的逆平行線，所以又有KL= KM，KP = KQ，KS = KT。

這樣L、P、S、M、Q、T六點到K點的距離相等，從而這六點共圓 。