容斥原理
容斥原理關鍵就兩個公式：
1. 兩個集合的容斥關係公式：A∪B=A+B-A∩B
2. 三個集合的容斥關係公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
請看例題：
【例題1】某大學某班學生總數是32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數是( )
A.22 B.18 C.28 D.26
【解析】設A=第一次考試中及格的人數(26人),B=第二次考試中及格的人數(24人),顯然,A+B=26+24=50； A∪B=32-4=28，則根據A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案為A。
【例題2】電視台向100人調查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？
【解析】設A=看過2頻道的人(62)，B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96；
A∩B=兩個頻道都看過的人(11)，則根據公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，兩個頻道都沒看過的人數為100-85=15人。
做對或做錯題問題
【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯一題倒扣2分，小周共得96分，問他做錯了多少道題？
A.12 B.4 C.2 D.5
【解析】
方法一
假設某人在做題時前面24道題都做對了,這時他應該得到96分,後面還有6道題,如果讓這最後6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0分呢?根據規則,只要作對2道題,做錯4道題即可,據此我們可知做錯的題為4道,作對的題為26道.
方法二
作對一道可得4分,如果沒作對反而扣2分,這一正一負差距就變成了6分.30道題全做對可得120分,而現在只得到96分,意味著差距為24分,用24÷6=4即可得到做錯的題,所以可知選擇B
植樹問題
核心要點提示：①總路線長②間距(棵距)長③棵數。只要知道三個要素中的任意兩個要素，就可以求出第三個。
【例題1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數走到第15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹後就往回走，當他回到第5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數時就開始往回走？
A.第32棵 B.第33棵 C.第37棵 D.第38棵
解析：李大爺從第一棵數走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個棵距用了7分鐘，所以走每個棵距用0.5分鐘。當他回到第5棵樹時，共用了30分鐘，計共走了30÷0.5=60個棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個棵距，第33可回到第5棵共28個棵距，32+28=60個棵距。
【例題2】為了把2008年北京奧運會辦成綠色奧運，全國各地都在加強環保，植樹造林。某單位計畫在通往兩個比賽場館的兩條路的(不相交)兩旁栽上樹，現運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：( ）
A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵
解析：設兩條路共有樹苗Ⅹ棵，根據栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可根據路程相等列出方程：(Ⅹ+2754-4)×4=(Ⅹ-396-4)×5(因為2條路共栽4排，所以要減4)
解得Ⅹ=13000，即選擇D。
和差倍問題
核心要點提示：和、差、倍問題是已知大小兩個數的和或差與它們的倍數關係，求大小兩個數的值。(和+差)÷2=較大數；(和—差)÷2=較小數；較大數—差=較小數。
【例題】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？
解析：設乙班的圖書本數為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當於乙班圖書本數的4倍。乙班160÷（3+1)=40(本)，甲班40×3=120(本)。
濃度問題
【例1】(2008年北京市應屆第14題)——
甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的溶液600克。現在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現在兩杯溶液的濃度是多少( )
A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4%
【答案】B。
【解析】這道題要解決兩個問題：
(1)濃度問題的計算方法
濃度問題在國考、京考當中出現次數很少，但是在浙江省的考試中，每年都會遇到濃度問題。這類問題的計算需要掌握的最基本公式是
(2)本題的陷阱條件
“現在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同。”這句話描述了一個非常複雜的過程，令很多人望而卻步。然而，只要抓住了整個過程最為核心的結果——“甲、乙兩杯溶液的濃度相同”這個條件，問題就變得很簡單了。
因為兩杯溶液最終濃度相同，因此整個過程可以等效為——將甲、乙兩杯溶液混合均勻之後，再分開成為400克的一杯和600克的一杯。因此這道題就簡單的變成了“甲、乙兩杯溶液混合之後的濃度是多少”這個問題了。
根據濃度計算公式可得，所求濃度為：
如果本題採用題設條件所述的過程來進行計算，將相當繁瑣。
行程問題
【例1】(2006年北京市社招第21題)——
2某單位圍牆外面的公路圍成了邊長為300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個對角沿逆時針同時出發，如果甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，那么經過( )甲才能看到乙
A.16分40秒 B.16分 C.15分 D.14分40秒
【答案】A。
【解析】這道題是一道較難的行程問題，其難點在於“甲看到乙”這個條件。有一種錯誤的理解就是“甲看到乙”則是甲與乙在同一邊上的時候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小於300米時候甲就能看到乙了，其實不然。考慮一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個正方形的某個角旁邊，但是不在同一條邊上，這個時候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時候甲還是不能看到乙。由此看出這道題的難度——甲看到乙的時候兩人之間的距離是無法確定的。
有兩種方法來“避開”這個難點——
解法一：藉助一張圖來求解
雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進過程完全可以等效的視為兩人沿著直線行走，甲、乙的初始狀態如圖所示。
圖中的每一個“格檔”長為300米，如此可以將題目化為這樣的問題“經過多長時間，甲、乙能走入同一格檔？”
觀察題目選項，發現有15分鐘、16分鐘兩個整數時間，比較方便計算。因此代入15分鐘值試探一下經過15分鐘甲、乙的位置關係。經過15分鐘之後，甲、乙分別前進了
90×15=1350米=(4×300+150)米
70×15=1050米=(3×300+150)米
也就是說，甲向前行進了4個半格檔，乙向前行進了3個半格檔，此時兩人所在的地點如圖所示。
甲、乙兩人恰好分別在兩個相鄰的格檔的中點處。這時甲、乙兩人相距300米，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認為甲、乙距離差為300米時，甲就能看到乙的話就會出錯。
考慮由於甲行走的比乙快，因此當甲再行走150米，來到拐彎處的時候，乙行走的路程還不到150米。此時甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過150/90=1分40秒之後，甲恰好拐過彎看到乙。所以甲從出發到看到乙，總共需要16分40秒，甲就能看到乙。
這種解法不是常規解法，數學基礎較為薄弱的考生可能很難想到。
解法二：考慮實際情況
由於甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實際情況下，甲能夠看到乙恰好是當甲經過了正方形的一個頂點之後就能看到乙了。也就是說甲從一個頂點出發，在到某個頂點時，甲就能看到乙了。
題目要求的是甲運動的時間，根據上面的分析可知，經過這段時間之後，甲正好走了整數個正方形的邊長，轉化成數學運算式就是
90×t=300×n
其中，t是甲運動的時間，n是一個整數。帶入題目四個選項，經過檢驗可知，只有A選項16分40秒過後，甲運動的距離為
90×（16×60+40)/60=1500=300×5
符合“甲正好走了整數個正方形的邊長”這個要求，它是正確答案。
抽屜問題
三個例子：
（1）3個蘋果放到2個抽屜里，那么一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。
（2）5塊手帕分給4個小朋友，那么一定有1個小朋友至少拿了2塊手帕。
（3）6隻鴿子飛進5個鴿籠，那么一定有1個鴿籠至少飛進2隻鴿子。
我們用列表法來證明例題（1）：
| 放 法 抽 屜 | ①種 | ②種 | ③種 | ④種 |
| 第1個抽屜 | 3個 | 2個 | 1個 | 0個 |
| 第2個抽屜 | 0個 | 1個 | 2個 | 3個 |
從上表可以看出，將3個蘋果放在2個抽屜里，共有4種不同的放法。
第①、②兩种放法使得在第1個抽屜里，至少有2個蘋果；第③、④兩种放法使得在第2個抽屜里，至少有2個蘋果。
即：可以肯定地說，3個蘋果放到2個抽屜里，一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。
由上可以得出：
| 題 號 | 物 體 | 數 量 | 抽屜數 | 結 果 |
| （1） | 苹 果 | 3個 | 放入2個抽屜 | 有一個抽屜至少有2個蘋果 |
| （2） | 手 帕 | 5塊 | 分給4個人 | 有一人至少拿了2塊手帕 |
| （3） | 鴿 子 | 6隻 | 飛進5個籠子 | 有一個籠子至少飛進2隻鴿 |
上面三個例子的共同特點是：物體個數比抽屜個數多一個，那么有一個抽屜至少有2個這樣的物體。從而得出：
抽屜原理1：把多於n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。
再看下面的兩個例子：
（4）把30個蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一种放法，使每個抽屜中的蘋果數都小於等於5？
（5）把30個以上的蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一种放法，使每個抽屜中的蘋果數都小於等於5？
解答:（4）存在這樣的放法。即：每個抽屜中都放5個蘋果；（5）不存在這樣的放法。即：無論怎么放，都會找到一個抽屜，它裡面至少有6個蘋果。
從上述兩例中我們還可以得到如下規律：
抽屜原理2：把多於m×n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m+1個或多於m+l個的物體。
可以看出，“原理1”和“原理2”的區別是：“原理1”物體多，抽屜少，數量比較接近；“原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數量相差較大，物體個數比抽屜個數的幾倍還多幾。
以上兩個原理，就是我們解決抽屜問題的重要依據。抽屜問題可以簡單歸結為一句話：有多少個蘋果，多少個抽屜，蘋果和抽屜之間的關係。解此類問題的重點就是要找準“抽屜”，只有“抽屜”找準了，“蘋果”才好放。
我們先從簡單的問題入手：
（1）3隻鴿子飛進了2個鳥巢，則總有1個鳥巢中至少有幾隻鴿子？（答案：2隻）
（2）把3本書放進2個書架，則總有1個書架上至少放著幾本書？（答案：2本）
（3）把3封信投進2個郵筒，則總有1個郵筒投進了不止幾封信？（答案：1封）
（4）1000隻鴿子飛進50個巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個含鴿子最多的巢，它裡面至少含有幾隻鴿子？（答案：1000÷50=20，所以答案為20隻）
（5）從8個抽屜中拿出17個蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個拿蘋果最多的抽屜，從它裡面至少拿出了幾個蘋果？（答案：17÷8=2……1，2+1=3，所以答案為3）
（6）從幾個抽屜中（填最大數）拿出25個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，從它當中至少拿了7個蘋果？（答案：25÷□=6……□，可見除數為4，餘數為1，抽屜數為4，所以答案為4個）
抽屜問題又稱為鳥巢問題、書架問題或郵筒問題。如上面（1）、（2）、（3）題，講的就是這些原理。上面（4）、（5）、（6）題的規律是：物體數比抽屜數的幾倍還多幾的情況，可用“蘋果數”除以“抽屜數”，若餘數不為零，則“答案”為商加1；若餘數為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數”和“答案”來求“抽屜數”。
抽屜問題的用處很廣，如果能靈活運用，可以解決一些看上去相當複雜、覺得無從下手，實際上卻是相當有趣的數學問題。
例1：某班共有13個同學，那么至少有幾人是同月出生？（ ）
A. 13 B. 12 C. 6 D. 2
解1：找準題中兩個量，一個是人數，一個是月份，把人數當作“蘋果”，把月份當作“抽屜”，那么問題就變成：13個蘋果放12個抽屜里，那么至少有一個抽屜里放兩個蘋果。【已知蘋果和抽屜，用“抽屜原理1”】
例2：某班參加一次數學競賽，試卷滿分是30分。為保證有2人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（ ）
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
解2：毫無疑問，參賽總人數可作“蘋果”，這裡需要找“抽屜”，使找到的“抽屜”滿足：總人數放進去之後，保證有1個“抽屜”里，有2人。仔細分析題目，“抽屜”當然是得分，滿分是30分，則一個人可能的得分有31種情況（從0分到30分），所以“蘋果”數應該是31+1=32。【已知蘋果和抽屜，用“抽屜原理2”】
例3. 在某校數學樂園中，五年級學生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學生的出生日期，就可斷定在這400個學生中至少有兩個是同年同月同日出生的，你知道為什麼嗎？
解3：因為年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，所以這400名學生出生的日期總數不會超過366天，把400名學生看作400個蘋果，366天看作是366個抽屜，（若兩名學生是同一天出生的，則讓他們進入同一個抽屜，否則進入不同的抽屜）由“抽屜原則2”知“無論怎么放這400個蘋果，一定能找到一個抽屜，它裡面至少有2（400÷366=1……1，1+1=2）個蘋果”。即：一定能找到2個學生，他們是同年同月同日出生的。
例4：有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，（1）你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什麼？（2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什麼？
解4：把3種顏色的筷子當作3個抽屜。則：
（1）根據“抽屜原理1”，至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最特殊的情況想起，假定3種顏色的筷子各拿了3根，也就是在3個“抽屜”里各拿了3根筷子，不管在哪個“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少應拿出3×3+1=10（根）筷子，就能保證有4根筷子同色。
例5. 證明在任意的37人中，至少有4人的屬相相同。
解5：將37人看作37個蘋果，12個屬相看作是12個抽屜，由“抽屜原理2”知，“無論怎么放一定能找到一個抽屜，它裡面至少有4個蘋果”。即在任意的37人中，至少有4（37÷12=3……1，3+1=4）人屬相相同。
例6：某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有1個同學能借到2本或2本以上的書？
分析：從問題“有1個同學能借到2本或2本以上的書”我們想到，此話對應於“有一個抽屜裡面有2個或2個以上的蘋果”。所以我們應將40個同學看作40個抽屜，將書本看作蘋果，如某個同學借到了書，就相當於將這個蘋果放到了他的抽屜中。
解6：將40個同學看作40個抽屜，書看作是蘋果，由“抽屜原理1”知：要保證有一個抽屜中至少有2個蘋果，蘋果數應至少為40+1=41（個）。即：小書架上至少要有41本書。
下面我們來看兩道國考真題：
例7：（國家公務員考試2004年B類第48題的珠子問題）：
有紅、黃、藍、白珠子各10粒，裝在一個袋子裡，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色
相同，應至少摸出幾粒？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解7：把珠子當成“蘋果”，一共有10個，則珠子的顏色可以當作“抽屜”，為保證
摸出的珠子有2顆顏色一樣，我們假設每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，摸了4
個顏色不同的珠子之後，所有“抽屜”里都各有一個，這時候再任意摸1個，則一定有
一個“抽屜”有2顆，也就是有2顆珠子顏色一樣。答案選C。
例8：（國家公務員考試2007年第49題的撲克牌問題）：
從一副完整的撲克牌中，至少抽出（ ）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？
A．21 B．22 C．23 D．24
解8：完整的撲克牌有54張，看成54個“蘋果”，抽屜就是6個（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有6張花色一樣，我們假設現在前4個“抽屜”里各放了5張，後兩個“抽屜”里各放了1張，這時候再任意抽取1張牌，那么前4個“抽屜”里必然有1個“抽屜”里有6張花色一樣。答案選C。
歸納小結：解抽屜問題，最關鍵的是要找到誰為“蘋果”，誰為“抽屜”，再結合兩個原理進行相應分析。可以看出來，並不是每一個類似問題的“抽屜”都很明顯，有時候“抽屜”需要我們構造，這個“抽屜”可以是日期、撲克牌、考試分數、年齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會超出這個範圍。
“牛吃草”問題
牛吃草問題經常給出不同頭數的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由於吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。
解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地里原有草的數量，進而解答題總所求的問題。
這類問題的基本數量關係是：
1．（牛的頭數×吃草較多的天數－牛頭數×吃草較少的天數）÷（吃的較多的天數－吃的較少的天數）=草地每天新長草的量。
2．牛的頭數×吃草天數－每天新長量×吃草天數=草地原有的草。
下面來看幾道典型試題：
例1．
由於天氣逐漸變冷，牧場上的草每天一均勻的速度減少。經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】C。
解析：設每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天減少（20×5－16×6）÷（6－5）=4份草，原來牧場上有20×5+5×4=120份草，故可供11頭牛吃120÷（11+4）=8天。
例2．
有一片牧場，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永遠吃不完，至多可以放牧幾頭牛？（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C。
解析：設每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天生長出（21×8－24×6）÷（8－6）=12份，如果放牧12頭牛正好可吃完每天長出的草，故至多可以放牧12頭牛。
例3．
有一個水池，池底有一個打開的出水口。用5台抽水機20小時可將水抽完，用8台抽水機15小時可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時間將水漏完？（）
A.25 B.30 C.40 D.45
【答案】D。
解析：出水口每小時漏水為（8×15－5×20）÷（20－15）=4份水，原來有水8×15+4×15=180份，故需要180÷4=45小時漏完。
練習：
1．一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80隻羊吃12天，如果每頭牛每天吃草量等於每天4隻羊的吃草量，那么10頭牛與60隻羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（）
A.10 B.8 C.6 D.4
2．兩個孩子逆著自動扶梯的方向行走。20秒內男孩走27級，女孩走了24級，按此速度男孩2分鐘到達另一端，而女孩需要3分鐘才能到達。則該扶梯靜止時共有多少級可以看見？（）
A.54 B.48 C.42 D.36
3．22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，84天可以吃盡。請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天吃盡？（ ）
A.50 B.46 C.38 D.35
利潤問題
利潤就是掙的錢。利潤占成本的百分數就是利潤率。商店有時減價出售商品，我們把它稱為“打折”，幾折就是百分之幾十。如果某種商品打“八折”出售，就是按原價的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原價的85%出售。利潤問題中，還有一種利息和利率的問題，屬於百分數套用題。本金是存入銀行的錢。利率是銀行公布的，是把本金看做單位“1”，按百分之幾或千分之幾付給儲戶的。利息是存款到期後，除本金外，按利率付給儲戶的錢。本息和是本金與利息的和。
這一問題常用的公式有：
定價=成本+利潤
利潤=成本×利潤率
定價=成本×（1+利潤率)
利潤率=利潤÷成本
利潤的百分數=(售價-成本)÷成本×100%
售價=定價×折扣的百分數
利息=本金×利率×期數
本息和=本金×（1+利率×期數)
例1 某商品按20%的利潤定價，又按八折出售，結果虧損4元錢。這件商品的成本是多少元？
A.80 B.100 C.120 D.150
【答案】B。解析：現在的價格為(1+20%)×80%=96%，故成本為4÷（1-96%)=100元。
例2 某商品按定價出售，每個可以獲得45元的利潤，現在按定價的八五折出售8個，按定價每個減價35元出售12個，所能獲得的利潤一樣。這種商品每個定價多少元？( )
A.100 B.120 C.180 D.200
【答案】D。解析：每個減價35元出售可獲得利潤(45-35)×12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤120÷8=15元，少獲得45-15=30元，故每個定價為30÷（1-85%)=200元。
例3 一種商品，甲店進貨價比乙店便宜12%，兩店同樣按20%的利潤定價，這樣1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定價是多少元？( )
A.1000 B.1024 C.1056 D.1200
【答案】C。解析：設乙店進貨價為x元，可列方程20%x-20%×（1-12%)x=24，解得x=1000，故甲店定價為1000×（1-12%)×（1+20%)=1056元。
練習：
1.書店賣書，凡購同一種書100本以上，就按書價的90%收款，某學校到書店購買甲、乙兩種書，其中乙書的冊數是甲書冊數的3/5 ，只有甲種書得到了優惠，這時，買甲種書所付總錢數是買乙種書所付錢數的2倍，已知乙種書每本定價是1.5元，優惠前甲種書每本定價多少元？
A.4 B.3 C.2 D.1
2.某書店對顧客實行一項優惠措施：每次買書200元至499.99元者優惠5%，每次買書500元以上者(含500元)優惠10%。某顧客到書店買了三次書，如果第一次與第二次合併一起買，比分開買便宜13.5元；如果三次合併一起買比三次分開買便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的 ，這位顧客第二次買了多少錢的書？
A.115 B.120 C.125 D.130
3.商店新進一批洗衣機，按30%的利潤定價，售出60%以後，打八折出售，這批洗衣機實際利潤的百分數是多少？
A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20
平均數問題
這裡的平均數是指算術平均數，就是n個數的和被個數n除所得的商，這裡的n大於或等於2。通常把與兩個或兩個以上數的算術平均數有關的套用題，叫做平均數問題。平均數套用題的基本數量關係是：
總數量和÷總份數=平均數
平均數×總份數=總數量和
總數量和÷平均數=總份數
解答平均數套用題的關鍵在於確定“總數量”以及和總數量對應的總份數。
例1： 在前面3場擊球遊戲中，某人的得分分別為130、143、144。為使4場遊戲得分的平均數為145，第四場他應得多少分？( )
【答案】C。解析：4場遊戲得分平均數為145，則總分為145×4=580，故第四場應的580-130-143-144=163分。
例2： 李明家在山上，爺爺家在山下，李明從家出發一每分鐘90米的速度走了10分鐘到了爺爺家。回來時走了15分鐘到家，則李明往返全程的平均速度是多少？( )
A.72米/分 B.80米/分 C.84米/分 D90米/分
【答案】A。解析：李明往返的總路程是90×10×2=1800(米)，總時間為10+15=25 均速度為1800÷25=72米/分。
例3： 某校有有100個學生參加數學競賽，平均得63分，其中男生平均60分，女生平均70分，則男生比女生多多少人？( )
A.30 B.32 C.40 D.45
【答案】C。解析：總得分為63×100=6300，假設女生也是平均60分，那么100個學生共的6000分，這樣就比實得的總分少300分。這是女生平均每人比男生高10分，所以這少的300分是由於每個女生少算了10分造成的，可見女生有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生比女生多70-30=40人。
練習：
1. 5個數的平均數是102。如果把這5個數從小到大排列，那么前3個數的平均數是70，後3個數的和是390。中間的那個數是多少？( ) A.80 B.88 C.90 D.96
2. 甲、乙、丙3人平均體重47千克，甲與乙的平均體重比丙的體重少6千克，甲比丙少3
千克，則乙的體重為( )千克。 A.46 B.47 C.43 D.42
3. 一個旅遊團租車出遊，平均每人應付車費40元。後來又增加了8人，這樣每人應付的車
費是35元，則租車費是多少元？( ) A.320 B.2240 C.2500 D.320
十一.方陣問題
學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數與列數都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。
核心公式：
1．方陣總人數=最外層每邊人數的平方（方陣問題的核心）
2．方陣最外層每邊人數=（方陣最外層總人數÷4）+1
3．方陣外一層總人數比內一層總人數多2
4．去掉一行、一列的總人數=去掉的每邊人數×2－1
例1 學校學生排成一個方陣，最外層的人數是60人，問這個方陣共有學生多少人?
A．256人 B．250人 C．225人 D．196人 （2002年A類真題）
解析：正確答案為A。方陣問題的核心是求最外層每邊人數。
根據四周人數和每邊人數的關係可以知：每邊人數=四周人數÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數，那么整個方陣佇列的總人數就可以求了。
方陣最外層每邊人數：60÷4+1=16（人） 整個方陣共有學生人數：16×16=256（人）。
例2 參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形佇列。如果要使這個正方形佇列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？
分析 如下圖表示的是一個五行五列的正方形佇列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數相等；最外層每邊人數是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：
去掉一行、一列的總人數=去掉的每邊人數×2－1
解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數。
原題中去掉一行、一列的人數是33，則去掉的一行（或一列）人數=（33+1）÷2=17
方陣的總人數為最外層每邊人數的平方，所以總人數為17×17=289（人）
練習：
1. 小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成個正三角形，正好用完，後來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是( )：
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 （2005年中央真題）
2. 某儀仗隊排成方陣，第一次排列若干人，結果多餘100人；第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。儀仗隊總人數為多少？ 答案：1.C 2. 500人
十二.年齡問題
主要特點是：時間發生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合套用。解題時，我們一定要抓住年齡差不變這個解題關鍵。
解答年齡問題的一般方法：
幾年後的年齡=大小年齡差÷倍數差－小年齡
幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數差
例1：
甲對乙說：當我的歲數是你現在歲數時，你才4歲。乙對甲說：當我的歲數到你現在的歲數時，你將有67歲，甲乙現在各有：
A．45歲，26歲 B．46歲，25歲 C．47歲，24歲 D．48歲，23歲
【答案】B。
解析：甲、乙二人的年齡差為（67－4）÷3=21歲，故今年甲為67－21=46歲，乙的年齡為45－21=25歲。
例2：
爸爸、哥哥、妹妹現在的年齡和是64歲。當爸爸的年齡是哥哥的3倍時，妹妹是9歲；當哥哥的年齡是妹妹的2倍時，爸爸34歲。現在爸爸的年齡是多少歲？
A．34 B．39 C．40 D．42
【答案】C。
解析：解法一：用代入法逐項代入驗證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方程求解。設爸爸、哥哥和妹妹的現在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y-(z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。
例3：
1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?
A．34歲，12歲 B．32歲，8歲 C．36歲，12歲 D．34歲，10歲
【答案】C。
解析：抓住年齡問題的關鍵即年齡差，1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍，則甲乙的年齡差為3倍乙的年齡，2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍，此時甲乙的年齡差為2倍乙的年齡，根據年齡差不變可得
3×1998年乙的年齡=2×2002年乙的年齡
3×1998年乙的年齡=2×（1998年乙的年齡+4）
1998年乙的年齡=8歲
則2000年乙的年齡為10歲。
練習：
1. 爸爸在過50歲生日時，弟弟說：“等我長到哥哥現在的年齡時，我和哥哥的年齡之和等於那時爸爸的年齡”，那么哥哥今年多少歲？
A.18 B.20 C.25 D.28
2. 甲、乙兩人的年齡和正好是80歲，甲對乙說：“我像你現在這么大時，你的年齡正好是我的年齡的一半。”甲今年多少歲？（ ）
A.32 B.40 C.48 D.45
3. 父親與兒子的年齡和是66歲，父親的年齡比兒子年齡的3倍少10歲，那么多少年前父親的年齡是兒子的5倍？（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
十三. 比例問題
解決好比例問題，關鍵要從兩點入手：第一，“和誰比”；第二，“增加或下降多少”。
例1 b比a增加了20%，則b是a的多少？ a又是b的多少呢？
解析：可根據方程的思想列式得 a×（1+20%）=b，所以b是a的1.2倍。
A/b=1/1.2=5/6，所以a 是b的5/6。
例2 養魚塘里養了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標記後放回魚塘，數日後再捕上100尾，發現有標記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚?
A．200 B．4000 C．5000 D．6000 （2004年中央B類真題）
解析：方程法：可設魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，選擇B。
例3 2001年，某公司所銷售的計算機台數比上一年度上升了20%，而每台的價格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計算機銷售額為3000萬元，那么2000年的計算機銷售額大約是多少?
A．2900萬元 B．3000萬元 C．3100萬元 D．3300萬元（2003年中央A類真題）
解析：方程法：可設2000年時，銷售的計算機台數為X，每台的價格為Y，顯然由題意可知，2001年的計算機的銷售額=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000萬=0.96XY，顯然XY≈3100。答案為C。
特殊方法：對一商品價格而言，如果上漲X後又下降X，求此時的商品價格原價的多少？或者下降X再上漲X，求此時的商品價格原價的多少？只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運用簡化公式，1－X 。但如果上漲或下降的百分比不相同時則不可運用簡化公式，需要一步一步來。對於此題而言，計算機台數比上一年度上升了20%，每台的價格比上一年度下降了20%，因為銷售額=銷售台數×每台銷售價格，所以根據乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） =0.96，2001年的銷售額為3000萬，則2000年銷售額為3000÷0.96≈3100。
例4 生產出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是藍色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍色襯衫有多少件?
A．15 B．25 C．35 D．40 （2003年中央A類真題）
解析：這是一道涉及容斥關係（本書後面會有專題講解）的比例問題。
根據已知 大號白=10件，因為大號共50件，所以，大號藍=40件；
大號藍=40件，因為藍色共75件，所以，小號藍=35件；
此題可以用另一思路進行解析（多進行這樣的思維訓練，有助於提升解題能力）
大號白=10件，因為白色共25件，所以，小號白=15件；
小號白=15件，因為小號共50件，所以，小號藍=35件；
所以，答案為C。
例5 某企業發獎金是根據利潤提成的，利潤低於或等於10萬元時可提成10%；低於或等於20萬元時，高於10萬元的部分按7.5%提成；高於20萬元時，高於20萬元的部分按5%提成。當利潤為40萬元時，應發放獎金多少萬元?
A．2 B．2.75 C．3 D．4.5 （2003年中央A類真題）
解析：這是一個種需要讀懂內容的題型。根據要求進行列式即可。
獎金應為 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75
所以，答案為B。
例6 某企業去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產成本500萬元和廣告費200萬元兩個部分。若年利潤必須按P%納稅，年廣告費超出年銷售收入2%的部分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業去年共納稅120萬元，則稅率P%為
A．40% B．25% C．12% D．10% （2004年江蘇真題）
解析：選用方程法。根據題意列式如下：
（1000-500-200）×P%+（200-1000×2%）×P%=120
即 480×P%=120
P%=25%
所以，答案為B。
例 7 甲乙兩名工人8小時共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，問乙每小時加工多少個零件?
A．30個 B．35個 C．40個 D．45個 （2002年A類真題）
解析：選用方程法。設乙每小時加工X個零件，則甲每小時加工1.3X個零件，並可列方程如下：
（1+1.3X）×8=736
X=40
所以，選擇C。
例 8 已知甲的12%為13，乙的13%為14，丙的14%為15，丁的15%為16，則甲、乙、丙、丁4個數中最大的數是：
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （2001年中央真題）
解析：顯然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，顯然最大與最小就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，
所以，甲>乙>丙>丁，選擇A。
例 10 某儲戶於1999年1月1 日存人銀行60000元，年利率為2.00%，存款到期日即2000年1月1 日將存款全部取出，國家規定凡1999年11月1日後孳生的利息收入應繳納利息稅，稅率為20%，則該儲戶實際提取本金合計為
A．61 200元 B．61 160元 C．61 000元 D．60 040元
解析，如不考慮利息稅，則1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息為60000×2%=1200，也即100元/月，但實際上從1999年11月1日後要收20%利息稅，也即只有2個月的利息收入要交稅，稅額=200×20%=40元
所以，提取總額為60000+1200-40=61160，正確答案為B。
十四. 尾數計算問題
尾數計算法
知識要點提示：尾數這是數學運算題解答的一個重要方法，即當四個答案全不相同時，我們可以採用尾數計算法，最後選擇出正確答案。
首先應該掌握如下知識要點：
2452+613=3065 和的尾數5是由一個加數的尾數2加上另一個加數的尾數3得到的。
2452－613=1839 差的尾數9是由被減數的尾數2減去減數的尾數3得到。
2452×613=1503076 積的尾數6是由一個乘數的尾2乘以另一個乘數的尾數3得到。
2452÷613=4 商的尾數4乘以除數的尾數3得到被除數的尾數2，除法的尾數有點特殊，請學員在考試運用中要注意。
例1 99+1919+9999的個位數字是（ ）。
A．1 B．2 C．3 D．7 （2004年中央A、B類真題）
解析：答案的尾數各不相同，所以可以採用尾數法。9+9+9=27，所以答案為D。
例2 請計算（1.1）2 +（1.2）2 +（1.3）2 +（1.4）2 值是：
A．5.04 B．5.49 C．6.06 D．6.30型 （2002年中央A類真題）
解析：（1.1）2 的尾數為1，（1.2）2 的尾數為4，（1.3）2 的尾數為9，（1.4）2 的尾數為6，所以最後和的尾數為1+3+9+6的和的尾數即0，所以選擇D答案。
例3 3×999+8×99+4×9+8+7的值是：
A．3840 B．3855 C．3866 D．3877 （2002年中央B類真題）
解析：運用尾數法。尾數和為7+2+6+8+7=30，所以正確答案為A。
自然數N次方的尾數變化情況
知識要點提示：
我們首先觀察2n 的變化情況
21的尾數是2
22的尾數是4
23的尾數是8
24的尾數是6
25的尾數又是2
我們發現2的尾數變化是以4為周期變化的即21 、25、29……24n+1的尾數都是相同的。
3n是以“4”為周期進行變化的，分別為3，9，7，1， 3，9，7，1 ……
7n是以“4”為周期進行變化的，分別為9，3，1，7， 9，3，1，7 ……
8n是以“4”為周期進行變化的，分別為8，4，2，6， 8，4，2，6 ……
4n是以“2”為周期進行變化的，分別為4，6， 4，6，……
9n是以“2”為周期進行變化的，分別為9，1， 9，1，……
5n、6n尾數不變。
例1 的末位數字是：
A．1 B．3 C．7 D．9 （2005年中央甲類真題）
解析：9n是以“2”為周期進行變化的，分別為9，1， 9，1，……即當奇數方時尾數為“9”，當偶數方時尾數為“1”，1998為偶數，所以原式的尾數為“1”，所以答案為A。
例2 19881989+1989 的個位數是 （2000年中央真題）
A．9 B．7 C．5 D．3
解析：由以上知識點我們可知19881989 的尾數是由 81989 的尾數確定的，1989÷4=497餘1，所以81989 的尾數和81 的尾數是相同的，即19881989 的尾數為8。
我們再來看19891988 的尾數是由91988 的尾數確定的，1988÷4=497餘0，這裡注意當餘數為0時，尾數應和94、98 、912 …… 94n 尾數一致，所以91988 的尾數與94 的尾數是相同的，即為1。
綜上我們可以得到19881989 + 19891988 尾數是8+1=9，所以應選擇C。
十五. 最低公倍數和最小公約數問題
1．關鍵提示：
最低公倍數與最大公約數的題一般不難，但一定要細緻審題，千萬不要粗心。另外這類題往往和日期（星期幾）問題聯繫在一起，要學會求余。
2．核心定義：
（1）最大公約數：如果一個自然數a能被自然數b整除，則稱a為b的倍數，b為a的約數。幾個自然數公有的約數，叫做這幾個自然數的公約數。公約數中最大的一個公約數，稱為這幾個自然數的最大公約數。
（2）最低公倍數：如果一個自然數a能被自然數b整除，則稱a為b的倍數，b為a的約數。幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個自然數的公倍數.公倍數中最小的一個大於零的公倍數，叫這幾個數的最低公倍數。
例題1：甲每5天進城一次，乙每9天進城一次，丙每12天進城一次，某天三人在城裡相遇，那么下次相遇至少要：
A．60天 B．180天 C．540天 D．1620天 （2003年浙江真題）
解析：下次相遇要多少天，也即求5，9，12的最低公倍數，可用代入法，也可直接求。顯然5，9，12的最低公倍數為5×3×3×4=180。
所以，答案為B。
例題2：三位採購員定期去某商店，小王每隔9天去一次，大劉每隔11天去一次，老楊每隔7天去一次，三人星期二第一次在商店相會，下次相會是星期幾？
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
解析：此題乍看上去是求9，11，7的最低公倍數的問題，但這裡有一個關鍵字，即“每隔”，“每隔9天”也即“每10天”，所以此題實際上是求10，12，8的最低公倍數。10，12，8的最低公倍數為5×2×2×3×2=120。120÷7=17餘1，
所以，下一次相會則是在星期三，選擇C。
例題3：賽馬場的跑馬道600米長，現有甲、乙、丙三匹馬，甲1分鐘跑2圈，乙1分鐘跑3圈，丙1分鐘跑4圈。如果這三匹馬並排在起跑線上，同時往一個方向跑，請問經過幾分鐘，這三匹馬自出發後第一次並排在起跑線上？( )
A．1/2 B．1 C．6 D．12
解析：此題是一道有迷惑性的題，“1分鐘跑2圈”和“2分鐘跑1圈”是不同概念，不要等同於去求最低公倍數的題。顯然1分鐘之後，無論甲、乙、丙跑幾圈都回到了起跑線上。
所以，答案為B。
