莫比烏斯反演的引入
莫比烏斯反演是數論中的重要內容，在許多情況下能夠簡化運算。我們考慮以下求和函式：
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演我們需要找到和之間的關係。從和函式定義當中，我們可以知道：
莫比烏斯反演
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莫比烏斯反演那么：
莫比烏斯反演
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莫比烏斯反演
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演從中，可以看出，若(為質數)那么，，所以，.
如果我們要讓函式滿足：
莫比烏斯反演那么通過以上推導，我們可以知道，所以我們作出以下猜測：
莫比烏斯反演莫比烏斯反演定理
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演設 和 是定義在正整數集合上的兩個函式,定義如下。
莫比烏斯反演若函式滿足：
莫比烏斯反演則有
莫比烏斯反演莫比烏斯反演定理證明
充分性證明：
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演考慮到：
莫比烏斯反演因此
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演必要性證明：
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演考慮到：
莫比烏斯反演 莫比烏斯反演因此
莫比烏斯反演莫比烏斯函式
莫比烏斯反演
莫比烏斯反演定義當時，
莫比烏斯反演 莫比烏斯反演
莫比烏斯反演當（為不同的質數，且次數都為1），
莫比烏斯反演其餘情況
莫比烏斯反演注意， 函式也為積性函式。證明略。
莫比烏斯反演的性質
莫比烏斯反演性質一（莫比烏斯反演公式）：
性質二： μ( n)是積性函式
莫比烏斯反演性質三：設f是算術函式，它的和函式 是積性函式，那么 f 也是積性函式。
