正文
線性運算元與線性泛函 設x、Y是兩個（實數或複數域上的）線性空間，T是x到Y的映射。T的定義域和值域分別記為D(T )、R(T )。如果對任何數α、β和x1、x2∈D(T)，滿足αx1+βx2∈D(T)，並且
，
，
，則T是x到x的線性運算元。例3,設x=C【α,b】,則
,T2x =x(t0)(t0是【α,b】中取定的一個點)都是x上的線性泛函。 線性運算元的運算 設T1、T2是x到Y的線性運算元,它們的定義域分別是D(T1)、D(T2)。對任一數α,規定αT1表示以D(T1)為定義域，而對任何 x∈D(T1),(α T1)x=α(T1x)的運算元;規定T1+T2表示以D(T1)∩D(T2)為定義域，而對任何
的運算元。易知αT1（稱T1的α倍）,T1+T2(稱T1與T2的和)仍是線性運算元。又設T3是以D(T3)為定義域的Y到Z的線性運算元，規定T3·T1（也記作T3T1）表示以 
的運算元。易知T3·T1（稱T3與T1的積）也是線性運算元。 逆運算元 設T是以D（T）為定義域的x到Y的線性運算元,若從x≠0可推出Tx≠0,即T是單射,則T有逆映射T -1:T -1(Tx)=x0。T -1是一個以R（T）為定義域的線性運算元，在泛函分析中常稱T -1為T的逆運算元。
單位運算元 設T是x到x的線性運算元,如果對任何x∈x，Tx＝x,稱T是x的單位運算元,或恆等運算元,常用IX表示,或簡記為I。T -1是T的逆運算元若且唯若
。 連續線性運算元 又稱有界線性運算元，泛函分析研究的一類重要運算元。設x和Y是賦范線性空間，T是x到Y的線性運算元（或線性泛函）並且D(T)=x。如果對任何收斂序列xn，都有
，稱T是x到Y的連續線性運算元（或連續線性泛函）；如果T把x中任何有界集M映成Y中有界集，稱T是有界線性運算元(或有界線性泛函)。線性運算元T是連續的若且唯若它是有界的。例1中,當x上定義範數 
，Y上定義範數
時,那么運算元
是C1【0,1】到B【0,1】的連續線性運算元。例2和3中,當C【α,b】上定義範數
時,例2中運算元
和例3中的泛函T1和T2分別是連續線性運算元和連續線性泛函。對於x到Y的有界線性運算元（或有界線性泛函）T，稱 
運算元序列的收斂 設x和Y都是賦范線性空間，{Tn}是x到Y的有界線性運算元序列，T是x到Y的有界線性運算元。如果
,則稱{Tn}按運算元範數收斂（或一致收斂）的，並稱 T是{Tn}的按運算元範數收斂（或一致收斂）的極限。如果對任何x∈x，成立 
，
，
微分運算元和積分運算元 微分運算元 （積分運算元）是從某一個由函式構成的賦范線性空間到另一個由函式構成的賦范線性空間的微分（或積分）運算的泛稱。例 4，設x是希爾伯特空間
,
運算元
便可作為以D為它的定義域的x 到x 的微分運算元；例5，x是
便可作為以 x為定義域的x到x的積分運算元。更複雜的微分運算元或積分運算元是指高維空間上的高階微分或積分運算（包括邊界條件和初始條件等）以及它們的常係數或變係數的線性組合。 稠定閉運算元 無界線性運算元理論中一類重要的運算元。設x、Y是賦范線性空間,T是x到Y的線性運算元。如果定義域D(T)在x中稠密，即D(T)的閉包
,則稱T是稠定運算元。如果由{xn}嶅D(T),xn→x與Txn→y必可推出x∈D(T),且Tx=y,則稱T是閉運算元。全巴拿赫空間上的閉運算元必是有界的(見巴拿赫空間)。一個既稠定又閉的運算元稱為稠定閉運算元。在例5中的微分運算元
便是L2【α,b】上的稠定閉運算元，但它不是有界的。 共軛運算元 設T是x到Y的稠定線性運算元,記D(T*)為適合下麵條件的y*的全體:y*∈Y*（Y的共軛空間）,存在x*∈x*，使得一切x∈D(T),有
,這裡(Tx,y*),(x,x*)分別是y*(Tx),x*(x)的形式寫法。由於T是稠定的,對y*∈D(T*)只有惟一的x*滿足上式。作以D(T*)為定義域的線性運算元
,稱T*是T的共軛運算元。特別,如果T是x到Y的有界線性運算元,則T*是Y*到x*的有界線性運算元,並且‖T‖=‖T*‖。共軛運算元是矩陣的轉置矩陣概念的推廣。當x，Y都是希爾伯特空間時，從希爾伯特空間上的線性連續泛函的里斯表示定理知道,Y*＝Y,x*＝x,而上面的形式寫法(Tx,y*),(x,x*)這裡分別是Y和x中的內積。因此，希爾伯特空間中共軛運算元概念是矩陣的關聯矩陣（即轉置共軛陣）概念的推廣。所以巴拿赫空間中共軛運算元和希爾伯特空間上共軛運算元的概念略有差異。 下面是x與Y都是希爾伯特空間時的幾種常用的運算元類。
對稱算子和共軛運算元 設T是希爾伯特空間H上的稠定線性運算元,如果T嶅T*，即D(T)嶅D(T*),且對任何x∈D(T),Tx=T*x,則稱T是對稱運算元,特別當D(T)=D(T*)(從而T＝T*)時，稱T是自共軛運算元,也稱自伴運算元。如果T是自共軛運算元,而且對任何x∈D(T)，(Tx,x)≥0,稱T為正運算元,記為T≥0。例4中的微分運算元
是對稱運算元，並且 
，
保距運算元和酉運算元 設U是希爾伯特空間H上的線性運算元，並且D(U)是閉線性子空間，如果對任何x∈D(U)，‖Ux‖=‖x‖，稱U是保距運算元或稱保范運算元。特別當D(U )=H=R(U )時，稱U是H上的酉運算元。酉運算元另外的等價定義是U*U =UU*=I。
對稱運算元(或自共軛運算元)與保距運算元(或酉運算元)的關係極為密切。如果T是對稱運算元(或自共軛運算元),那么線性運算元Ut=(T-iI)(T+iI)-1,(D(Ut)=R(T+iI))必是保距運算元(或酉運算元)並且1不是Ut的特徵值,稱Ut是T的凱萊變換。反之,若U是不以1為特徵值的保距運算元(或酉運算元),那么,線性運算元
必是對稱運算元（或酉運算元），也稱TU是U的凱萊變換。 正常算子 也稱正規算子。希爾伯特空間H上滿足NN*=N*N的運算元N 稱為正常運算元。酉運算元和自共軛運算元都是它的特例。對這類運算元已有清楚的了解(見譜論)。正常運算元N有一個重要性質:設T是有界線性運算元,如果TN＝NT，則TN*=N*T。
關於自共軛運算元、酉運算元及正常運算元，早在20世紀20～30年代已獲得一系列深刻的結果。後來，人們的注意力逐漸轉移到各種類型的非正常運算元上，例如，近20年來人們興趣較大的除次正常運算元外有下面的運算元。設T是H上的有界線性運算元，T*T-TT*≥0，稱T是亞正常運算元;如果
就稱T為半亞正常運算元。關於亞正常和半亞正常運算元已經建立了它的函式模型並證明了著名的範數不等式：當T是亞正常運算元時， 
。
設M是希爾伯特空間H的閉線性子空間,根據投影定理，對任何x∈H必存在惟一的y∈M,z∈M寑使x=y+z。作H上的運算元pM :pM x=y，易知pM 是線性運算元，稱為H在M上的投影運算元。希爾伯特空間H上運算元p是投影運算元若且唯若p是冪等的(即p2=p)自共軛運算元。投影運算元p的另一等價條件是對任意x∈H，‖px‖2=(px,x)。投影運算元pM與相應的閉子空間M有如下關係。①H上的閉線性子空間M、N 相互正交的充要條件是pM pN=0。②當pM是投影運算元時,I-pM 也是投影運算元,且I-pM=pM寑。③兩個投影運算元pM 、pN之和pM +pN是投影運算元的充要條件是M⊥N,而且此時
其中M嘰N={x+y|x∈M，y∈N,M⊥N}。④兩個投影運算元pM 、pN之差pM-pN是投影運算元的充要條件是M叾N，而且此時
式中M嫴N={y|y⊥N,y∈M,M叾N}。⑤設A是H上的有界線性運算元,M是A的不變子空間（即AM嶅M）的充要條件
而M是A的約化子空間(即M、M寑都是A的不變子空間)的充要條件是ApM=pMA,等等。因此，投影運算元已成為研究其他複雜運算元的工具。