歐幾里得[古希臘數學家歐幾里得]

歐幾里得[古希臘數學家歐幾里得]
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歐幾里得(英文:Euclid;希臘文:Ευκλειδης ,公元前330年—公元前275年),古希臘人,數學家。他活躍於托勒密一世(公元前364年-公元前283年)時期的亞歷山大里亞,被稱為“幾何之父”,他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎,提出五大公設,歐幾里得幾何,被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。

人物故事

身世

可惜的是歐幾里德的身世我們知道得很少。他是亞歷山大大學的一個教授,他的《幾何原本》大概是當時的一個課本。亞歷山大大學是希臘文化最後集中的地方,因為亞歷山大自己到過亞歷山大,因此就建立了當時北非的大城,靠在地中海。但是他遠在到亞洲之後,我們知道他很快就死了。之後,他的大將托勒密管理當時的埃及區域。托勒密很重視學問,就成立了一個大學。這個大學就在他的王宮旁邊,是當時全世界最優秀的大學,設備非常好,有許多書。很可惜由於宗教的原因以及眾多的原因,現在這個學校已經被完全毀掉了。當時的基督教就不喜歡這個學校,已經被毀了,回教人占領北非之後就大規模地破壞、並焚燒圖書館的書。所以現在這個學校完全不存在了。

懂幾何者

歐幾里得(Euclid)是古希臘著名數學家、歐氏幾何學開創者。歐幾里得出生於雅典,當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得,當他還是個十幾歲的少年時,就迫不及待地想進入柏拉圖學園學習。

一天,一群年輕人來到位於雅典城郊外林蔭中的柏拉圖學園。只見學園的大門緊閉著,門口掛著一塊木牌,上面寫著:“不懂幾何者,不得入內! ”這是當年柏拉圖親自立下的規矩,為的是讓學生們知道他對數學的重視,然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊塗了。有人在想,正是因為我不懂數學,才要來這兒求教的呀,如果懂了,還來這兒做什麼?正在人們面面相覷,不知是進是退的時候,歐幾里得從人群中走了出來,只見他整了整衣冠,看了看那塊牌子,然後果斷地推開了學園大門,頭也沒有回地走了進去。

編寫巨著

最早的幾何學興起於公元前7世紀的古埃及,後經古希臘等人傳到古希臘的都城,又借畢達哥拉斯學派系統奠基。在歐幾里得以前,人們已經積累了許多幾何學的知識,然而這些知識當中,存在一個很大的缺點和不足,就是缺乏系統性。大多數是片斷、零碎的知識,公理與公理之間、證明與證明之間並沒有什麼很強的聯繫性,更不要說對公式和定理進行嚴格的邏輯論證和說明。

因此,隨著社會經濟的繁榮和發展,特別是隨著農林畜牧業的發展、土地開發和利用的增多,把這些幾何學知識加以條理化和系統化,成為一整套可以自圓其說、前後貫通的知識體系,已經是刻不容緩,成為科學進步的大勢所趨。歐幾里得通過早期對柏拉圖數學思想,尤其是幾何學理論系統而周詳的研究,已敏銳地察覺到了幾何學理論的發展趨勢。

《幾何原本》 《幾何原本》

他下定決心,要在有生之年完成這一工作,成為幾何第一人。為了完成這一重任,歐幾里得不辭辛苦,長途跋涉,從愛琴海邊的雅典古城,來到尼羅河流域的埃及新埠—亞歷山大城,為的就是在這座新興的,但文化蘊藏豐富的異域城市實現自己的初衷。在此地的無數個日日夜夜裡,他一邊收集以往的數學專著和手稿,向有關學者請教,一邊試著著書立說,闡明自己對幾何學的理解,哪怕是尚膚淺的理解。經過歐幾里得忘我的勞動,終於在公元前300年結出豐碩的果實,這就是幾經易稿而最終定形的《幾何原本》一書。這是一部傳世之作,幾何學正是有了它,不僅第一次實現了系統化、條理化,而且又孕育出一個全新的研究領域——歐幾里得幾何學,簡稱歐氏幾何。直到今天,他所創作的幾何原本仍然是世界各國學校里的必修課,從國小到國中、大學、再到現代高等學科都有他所創作的定律、理論和公式套用。

沒有捷徑

位於牛津大學自然歷史博物館的歐幾里得石像 位於牛津大學自然歷史博物館的歐幾里得石像

在柏拉圖學派晚期導師普羅克洛斯(約410~485)的《幾何學發展概要》中,就記載著這樣一則故事,說的是數學在歐幾里得的推動下,逐漸成為人們生活中的一個時髦話題(這與當今社會截然相反),以至於當時亞里山大國王托勒密一世也想趕這一時髦,學點兒幾何學。

雖然這位國王見多識廣,但歐氏幾何卻令他學的很吃力。於是,他問歐幾里得“學習幾何學有沒有什麼捷徑可走?”,歐幾里得笑道:“抱歉,陛下!學習數學和學習一切科學一樣,是沒有什麼捷徑可走的。學習數學,人人都得獨立思考,就像種莊稼一樣,不耕耘是不會有收穫的。在這一方面,國王和普通老百姓是一樣的。” 從此,“在幾何學裡,沒有專為國王鋪設的大道。”這句話成為千古傳誦的學習箴言。

量金字塔

歐幾里得[古希臘數學家歐幾里得] 歐幾里得[古希臘數學家歐幾里得]

又有則故事。那時候,人們建造了高大的金字塔,可是誰也不知道金字塔究竟有多高。有人這么說:“要想測量金字塔的高度,比登天還難!”這話傳到歐幾里得耳朵里。他笑著告訴別人:“這有什麼難的呢?當你的影子跟你的身體一樣長的時候,你去量一下金字塔的影子有多長,那長度便等於金字塔的高度!”

沒有好處

來拜歐幾里得為師,學習幾何的人,越來越多。有的人是來湊熱鬧的,看到別人學幾何,他也學幾何。斯托貝烏斯(約500)記述了另一則故事,一位學生曾這樣問歐幾里得:“老師,學習幾何會使我得到什麼好處?”歐幾里得思索了一下,請僕人拿點錢給這位學生。歐幾里得說:給他三個錢幣,因為他想在學習中獲取實利。

人物成就

完全數

此外,歐幾里得在《幾何原本》中還對完全數做了探究,他通過 2^(n-1)·(2^n-1) 的表達式發現頭四個完全數的。

當 n= 2: 2^1(2^2-1) = 6 當 n= 3: 2^2(2^3-1) = 28 當 n= 5: 2^4(2^5-1) = 496 當 n= 7: 2^6(2^7-1) = 8128 一個偶數是完全數,若且唯若它具有如下形式:2^(n-1).(2^n-1),此事實的充分性由歐幾里得證明,而必要性則由歐拉所證明。

其中2^(n)-1是素數,上面的6和28對應著 n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2^(n)-1 的素數(即梅森素數),也就知道了一個偶完全數。在手算時代梅森素數可使人們更方便的計算完全數,在計算機時代更是得到了廣泛深入的套用,計算機的CPU可以更方便的計算各種數。

儘管沒有發現奇完全數,但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明,若有奇完全數,則其形式必然是12 p+ 1或36 p+ 9的形式,其中p是素數。在10^300以下的自然數中奇完全數是不存在的。

首五個完全數是:

6

28

496

8128

33550336(8位)

歐幾里得算法

歐幾里德算法又稱輾轉相除法,用於計算兩個整數a,b的最大公約數。

幾何原本

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創造性於一體的不朽之作。這部書已經基本囊括了幾何學從公元前7世紀到古希臘,一直到公元前4世紀——歐幾里得生活時期——前後總共400多年的數學發展歷史。

它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論,而且通過歐幾里得開創性的系統整理和完整闡述,使這些遠古的數學思想發揚光大。它開創了古典數論的研究,在一系列公理、定義、公設的基礎上,創立了歐幾里得幾何學體系,成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典範。

全書共分13卷。書中包含了5條“公理”、5條“公設”、23個定義和467個命題。

在每一卷內容當中,歐幾里得都採用了與前人完全不同的敘述方式,即先提出公理、公設和定義,然後再由簡到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。

而在整部書的內容安排上,也同樣貫徹了他的這種獨具匠心的安排。它由淺到深,從簡至繁,先後論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容。其中有關窮竭法的討論,成為近代微積分思想的來源。

照歐氏幾何學的體系,所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中,對定理的每個證明必須或者以公理為前提,或者以先前就已被證明了的定理為前提,最後做出結論。對後世產生了深遠的影響。

人物著作

他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎,總結了平面幾何五大公設,被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法後來成了建立任何知識體系的典範,在差不多二千年間,被奉為必須遵守的嚴密思維的範例。

除了《幾何原本》之外,他還有不少著作,可惜大都失傳。歐幾里得還有另外五本著作流傳至今。它們與《幾何原本》一樣,內容都包含定義及證明。

《已知數》( Data)是除《原本》之外惟一保存下來的他的希臘文純粹幾何著作,體例和《原本》前6卷相近,包括94個命題。指出若圖形中某些元素已知,則另外一些元素也可以確定。

《圓形的分割》( On divisions of figures)現存拉丁文本與阿拉伯文本,論述用直線將已知圖形分為相等的部分或成比例的部分,內容與希羅(Heron of Alexandria)的作品相似。

《反射光學》( Catoptrics)論述反射光在數學上的理論,尤其論述形在平面及凹鏡上的圖像。可是有人置疑這本書是否真正出自歐幾里得之手,它的作者可能是塞翁(Theon of Alexandria)。

《現象》( Phenomena)是一本關於球面天文學的論文,現存希臘文本。這本書與奧托呂科斯(Autolycus of Pitane)所寫的 On the Moving Sphere相似。

《光學》( Optics)早期幾何光學著作之一,現存希臘文本。這本書主要研究透視問題,敘述光的入射角等於反射角等。認為視覺是眼睛發出光線到達物體的結果。還有一些著作未能確定是否屬於歐幾里得,而且已經散失。

人物評價

歐幾里得是古希臘最負盛名、最有影響的數學家之一。歐幾里得的《幾何原本》對於幾何學、數學和科學的未來發展,對於西方人的整個思維方法都有極大的影響。《幾何原本》是古希臘數學發展的頂峰。歐幾里得將公元前七世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果,整理在嚴密的邏輯系統運算之中,使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。

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